【正文】

  由数学开放题这一载体所决定的开放式的教学,之所以成为一种新的教学模式,是因为构成教学模式的三个“子结构”——师生关系结构、教学内容结构、教学过程结构在开放题教学中呈现出一种全新的稳定的联系。数学开放题教学的加强,必定使数学课堂走向开放式的教学。

　　相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素——条件、策略、结论中有一些是不明确的（分别称为条件开放题、策略开放题、结论开放题）。当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要。数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体；二是高考命题的导向作用，数学开放题走进高考试卷的需要；三是数学走向应用的需要。我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题。为了满足这三方面的需要，必需将开放题引进课堂教学，本文主要在开放问题的构建方面以实例谈谈对数学开放题教学的一些新的认识。

　　在数学开放意识教学过程中，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。

　　〔例1〕已知a,b,c∈R+,并且a＜b求证■＞■

　　除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。

　　〔例2〕用实际例子说明y=10+2x,x∈[0,5)20,x∈[5,10)40-2x,x∈[10,20)所表示的意义

　　给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。

　　1、X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。

　　2、季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。

　　函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。

　　〔例3〕由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2=1）

　　问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。

　　对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。

　　如改变位置，将A写成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的轨迹方程为(x-a)2+(2y-b)2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由。

　　简解：解方程组得x2+(y-b)2=4x2+(2y-b)2=4  y=0或y=2b/3

　　当y=0时，x2+b2=4，

　　（1）若b<-2或b>2，圆与椭圆没有公共点；

　　（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；

　　（3）若-2<b<2，圆与椭圆恰有二个公共点。

　　当y=2b/3时,x2+b2/9=4，

　　（1）若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点；

　　（2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；

　　（3）若-6<b<6，圆与椭圆恰有二个公共点。

　　综上所述，圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4，当b<-6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-6<b<-2或b=0或2<b<6时恰有二个公共点；当b=±2时恰有三个公共点；当-2<b<0或0<b<2时恰有四个公共点。

　　上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。

　　再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y-b)2=4上的点到椭圆x2+(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。

　　对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。