【正文】

  九年级《一元二次方程》一章可分为两部分：“解”与“不解”。“解”就是一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法。“不解”就是不需要求出方程的根来解决问题——笔者认为是以下三个逐层渐进的层次性问题，下一层所用到的知识方法总以上一个层次的知识方法为前提！注意到上一层条件的成立，才能用下一层的知识去解决问题是我们做对这类题的关键！

　　1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）即要在条件时才是一元二次方程：这一层或者说要注意“一元二次方程”这几个字的隐含条件，如果仅出现“方程ax2+bx+c=0”（注意到了没有啊：少了四个字！）那就要分类讨论，要分为它是“一元一次方程”和“一元二次方程”两类来分别解决问题了。

　　例1、若关于x方程(a-2)ax2-2x+1=0是一元二次方程，则

a     .

　　解法分析：二次项系数a-2≠0

　　例2、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0，求a     .

　　解法分析：将方程的这个根0代入得a2-1=0得a=±1但“一元二次方程”要求二次项系数a-1≠0 ∴a=-1

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在a≠0条件之下，我们才可以用△=b2-4ac来解决问题。即一元一次方程我们根本不提△=b2-4ac这一点。相关的知识是：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。反过来也成立。

　　例3、若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有实根，则k

        .

　　解法分析：“一元二次”表明二次项系数k-1≠0，有实根就是有两实根，表明△≥0综合可得k≥0且k≠1，本题仅有△≥0是不严谨的。     

　　例4、若关于x的方程kx2+3x-1=0有实根，则k     .

　　解法分析：注意没有了“一元二次”这四个字，后面条件也讲的是“有实根”，没有讲有两个实根，含义是不一样地。所以要分类讨论：

　　①方程是一元一次方程，即k=0方程有一个实根

　　②方程是一元二次方程，即k≠0且△≥0，得k≥-■且k≠0

　　综合以上情况可得k≥-■

　　3、 一元二次方程（a≠0）在△≥0条件之下我们才可以用根与系数的关系定理（韦达定理）来解决问题。也就是说，用这层知识来解决问题前提条件不仅隐含着方程是一元二次方程还要方程必须有两个实根！相关的知识是：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)如果有两个实数根x1、x2，那么x1+x2=-■,x1·x2=■,

　　例5、以下关于根与系数的关系应用不正确的是﹝  ﹞

　　A:x2+x-1=0  x1+x2=-1  x1·x2=-1

　　B:x2+2x=0  x1+x2=-2  x1·x2=0

　　C:x2+x-1=0  x1+x2=-1  x1·x2=1

　　D:x2+x-1=0  x1+x2=-■  x1·x2=-■

　　解法分析：C选项方程△＜0，方程根本就没有实根，故就是它不正确。

　　例6、关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根为x1、x2，若x1+x2-x1x2＜-1，且k为整数，求k的值。

　　解：由根与系数的关系得：x1+x2=-■ x1·x2=■=k+1代入上式得-2-(k+1)＜-1 ∴k＞-2

　　又∵原方程有两个实根

　　∴△=b2-4ac≥0

　　即22-4(k+1)≥0

　　∴k≤0   ∴-2＜k≤0

　　又∵k为整数

　　∴k的值为-1、0

　　简评：本题如果只注意到了“根与系数的关系”条件而忽视“方程有两根”这个条件就会求出无数个整数值出来！