分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性。这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性。纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分。我就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见。

　　一、分析和解决问题能力的组成

　　1．审题能力

　　审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。

　　例1 已知sinα+sinβ=■,求cosα+cosβ=■的值。

　　分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系。只好从未知tgαtgβ入手，当然，首先想到的是把tgα、tgβ分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑tgαtgβ将写成■，转向求sinαsinβ、cosαcosβ。令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=■。

　　从方程的观点看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是转向求

　　x+y=cos(α-β)，x-y=cos(α+β)。

　　这样把问题转化为下列问题：

　　已知sinα+sinβ=■   ①   

　　cosα+cosβ=■    ② 

　　求cos(α+β)、cos(α-β)的值。

　　①2+②2得2+2cos(α-β)=■,os(α-β)=■．

　　②2-①2得cos2α+cos2β+2cos(α+β)=■，cos(α+β)=■． 这样问题就可以解决。

　　从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

　　2、合理应用知识、思想、方法解决问题的能力

　　中学数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决中学数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。

　　例2 设函数?蕊(x)=■-ax 其中a＞0

　　（Ⅰ）解不等式?蕊(x)≤1；

　　（Ⅱ）求a的取值范围，使函数?蕊(x)在[0,+∞)上是单调函数．

　　解：（Ⅰ）不等式?蕊(x)≤1 即

  ■≤1+ax

　　由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中常数a＞0

　　所以，原不等式等到价于

  x2+1≤(1+ax)2x≥0

　　即

  x≥0(a2-1)x+2a≥0

　　所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤■}

　　当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x＞0}

　　（Ⅱ）在区间[0,+∝)上任取x1,x2，使得x1＜x2

  ?蕊(x1)-?蕊(x2)=■+■-a(x1-x2)

       =■a(x1-x2)

       =(x1-x2)(■-a)

　　(ⅰ)当a≥1时，

　　∵■＜1

　　∴■-a＜0

　　又x1-x2＜0

　　∴?蕊(x1)-?蕊(x2)＞0

　　即?蕊(x1)＞?蕊(x2)

　　所以，当a≥1时，函数?蕊(x)在区间[0,+∝)上是单调递减函数。

　　（ⅱ）当0＜a＜1时，在区间[0,+∝)上存在两点x1=0,x2=■满足?蕊(x1)=?蕊(x2),所以函数?蕊(x)在区间[0,+∝)上不是单调函数。

　　综上，当且仅当a≥1时，函数?蕊(x)在区间[0,+∝)上是单调函数。

　　在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力。

　　2、数学建模能力

　　近几年来，在数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。

　　学生若没有一定的数学建模能力，正确解决解决试题不容易的。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。

　　二、培养和提高分析和解决问题能力的策略

　　1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法

　　数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。

　　每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。

　　2．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力

　　高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑。

　　数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。

　　3．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面

　　要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦,导致失分率较高。

　　４．重视解题的回顾

　　在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。

　　解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现。所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器。

　　参考文献：

　　[1]简洪权．中学数学运算能力的组成及培养策略．《中学数学教学参考》

　　[2]张卫国．例谈高考应用题对能力的考查．《中学数学研究》

　　[3]普通高等学校招生全国统一考试说明．