课堂教学不仅仅是预设，更多的是生成，“教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体”。“生成”是新课程倡导的一个重要的教学新理念。所谓生成，指的是师生交往互动对话中利用多元智能理论、文化基因的积淀以及学科知识明线、思维方法暗线、逻辑思维线建构的即兴创作，是师生思维碰撞的智慧火花，是活化了的知识、技能。生成性的课堂能让学生尽情绽放自己思维感受的过程，而绝非一成不变的预设的僵化程序的完成，生成性的课堂是真正的有效性的课堂。

　　“有效教学”主要指在一定的教学投入内（时间、精力、努力），通过教师的教学，学生所获得的具体的进步和发展，带来最好教学效果的教学，是卓有成效的教学。学生的进步和发展是有效课堂的追求。为了提高高中数学课堂教学的有效性，在数学文化上我们进行了一系列的案例研究。

　　1. 数学概念的中英文文化关联对不同的文化背景学生认知具有更多的沟通性与融合性

　　在发展的文化观下立足数学概念真正的意义建构，在数学教科书的附录中对很多数学概念进行了专业词汇中英文对照，这实际上是从不同的民族文化出发给学生以更多的文化认知，增强学生对数学概念更多的文化背景认同与沟通。

　　案例1有理数——“rational  number”,原意是可以写成比的数，有理之说与无理之说生成了理解上的移位。有理的：可比的。原来是日本人在翻译的时候，出的问题，而中国则采用了日本的译法一直称它为有理数了（有道理，有规律——两整数相比无限循环之理，通俗的民族文化理解），其实称可比数更为确切。

　　有理数都是可以写成■(p与q是互质整数)的形式的，请学生思考：如何将一个无限循环小数 如：1.23、7.305 等还原为分数形式．考察就能发现“irrational”(“无理的”)，这个词由希腊词ǎλογοζ译成拉丁文，但是这个希腊词的大致意思是“不可表达的”，意为这些新的数（或线段比）不能象有理数那样用两个整数之比表达。由拉丁词“ratio”（“比”）造成一种误解，以为这个词只不过表示“reason”（“理性”）的意义，所以“irrational”（从词根上说“irrational”本为“不可比”之意——中译者）就被误译为“unreasonable”(“不合理的”)的意义，致使术语“irrational  number”(“无理数”)至今似乎含有这一层意思。理解了这一层学生就能够理解有理数的一般形式可以设定为■（p，q为互质的正整数）；如在证明“■是无理数”等问题时反设它是有理数时令■=■（p，q为互质的正整数）就成为思维之必然；通过掷色子写数字在小数点后的数就可以得到无理数。

　　案例2 ①截距——intercept——The distance from the origin to the point at which a line, curve, or surface intersects a coordinate axis.译文：从原点到一条直线、曲线或平面上的点的距离，与坐标轴相交；包含方向有正负之分。

　　②距离——distance——the amount  of  space  between two place or things .两物体或事物间的空间间隔值。还有像优弧majorarc, 必然事件 certain  event, 期望值expected value, 单射injection   逆像inverse  image  逆映射inverse  mapping ；  inverse=（n）反，逆；（adj）逆的。等等。

　　案例3 并集——union   set——“or”应用举例

　　已知三个方程

  x2-mx+4=0,

  x2-2(m-1)x+16=0

  x2+2mx+3m+10=0

　　中至少有一个方程有实根，求实数m的取值范围．

　　解析  若正面求解，三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其反面则只有一种情况：三个方程都没有实根，问题变得极为简单。有

  △1=m2-4×4=(m-4)(m+4)＜0,△2=4(m-1)2-4×16=(m-5)(m+3)＜0,△3=4m2-4(3m+10)=(m-5)(m+2)＜0

　　即得-2＜m＜4 ．再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围为(-∞,-2]∪[4,+∞)。

　　这是一个经典的处理（简称“处理”），作为数学，策略对头、思路清晰、答案正确．但作为教学，这个“处理”对审题的看法却是有问题的．分三步解释如下：

　　（1）审题的两种观点．

　　“处理”的一开头，对比了审题的两种观点．第一种观点是把“三个方程至少有一个方程有实根”理解为“7种可能”：某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能; 接下来是7种情况的合并，形式上看这阵势，确实书写量较大。（反思如图）

　　第二种观点是看到这一思路“情况复杂”，提出“反面”理解：

  ■1={m:△1=m2-4×4＜0,■2={m:△2=4(m-1)2-4×16＜0,■3={m:△3=4m2-4(3m+10)＜0

　　然后求补集■1∩■2∩■3．

　　两种观点相比较，曾形成了一些根深蒂固的认识：

　　① 面理解“三个方程至少有一个方程有实根”就是分7种情况讨论；

　　②正面求解是麻烦的；

　　③反面求解是正面求解“麻烦”、“困难”等情况下的一种选择；

　　④反面求解才是经济的、简捷的、策略的、辩证的．

　　（2）审题的第三个观点：并集——union   set—— “or”的思考．

　　为明确起见，第一个方程有实根时实数的取值范围记为

  ■1={m:△1=m2-4×4≥0,

　　第二个方程有实根时实数的取值范围记为

　　■2={m:△2=4(m-1)2-4×16≥0,

　　第三个方程有实根时实数的取值范围记为

　　■3={m:△3=4m2-4(3m+10)≥0．

　　那么，由“三个方程至少有一个方程有实根”你能得出哪些认识？

　　就是第一个方程有实根、“或”第二个方程有实根、“或”第三个方程有实根，即求A1,A2,A3的并集。

　　新解法“三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、“或”第二个方程有实根、“或”第三个方程有实根，得

　　△1=m2-4×4≥0?圯m≤-4,或m≥0，           ①

　　或（or）△2=4(m-1)2-4×16≥0?圯m≤-3,或m≥5，     ②

　　或(or)  △3=4m2-4(3m+10)≥0?圯m≤-2,或m≥5  ③

　　求①、②、③的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[4,+∞)。实质即■1∩■2∩■3=A1∪A2∪A3。

　　新解法的“正面求解”并不比原解法的“反面求解”麻烦．可见，第二种观点比第一种观点优越不等于“反面求解”比“正面求解”优越，原因是“7种可能，情况复杂”不等于“正面求解，情况复杂”，第二种观点是“只知其一，不知其二”，只审清了题意的一半．没有看出对题意的理解还存在第三种观点：“三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根。这就是并集“or”给我们的新思考。

　　2． 关注数学概念的符号化的筛选功能

　　数学概念的符号化是数学的重要构成部分，数学符号是数学文化的一部分，更是人类认知的重要成果和发明创造，不仅具有重要的识别、逻辑推理功能，还具有重要的筛选功能。如根式■只对A非负范畴有意义,其他的都会过滤掉;又如对数y=loga(M)不管M取何值，要使得y取实数，只要至少确保M取到全体正实数，其他的实数值通过符号的过滤功能都筛选掉了，因此看案例4：

　　案例4 已知a>0,a≠1, 函数y=loga(kx2+x+2) (1)若函数的定义域为实数R,求k的范围;(2) 若函数的值域为R,求k的范围.

　　在这里只要根据对数符号的筛选功能，欲使得值域为R,只要真数整体至少取到全体正实数即可，判别式≥0。

　　3． 在传统文化的发展中“说文解字”剖析数学概念，增强理解探究的实效性

　　案例5 幂函数——“power fuction ” ,幂——太阳大时盖在头上的毛巾（汉语词典解释）——毛巾有规格标准（不变）人可变—幂函数f(x)= ——下变（人）上不变（毛巾）——功能强大可谓power；当然“函数”（fuction）本身在构词法上属于一个动宾结构的意动用语，“以数为函”也会引起思维的洞悉。还有“共轭”之“轭” -——驾车时套在牲口脖子上的曲木（汉语词典），引申为对称之意。

　　案例6 对数——对于指数运算构成中运算的逻辑（logical ）建构的表示——逻辑真实的存在谓之logarithm，指数运算中对应存在着的那个数（对数表中对应的那个数，简称对数）。

　　案例7——数学语句

　　① 条件语句结构为：

　　如果引导学生从英文语句结构认知“翻译”这一数学关系为：

　　站在函数角度，可发现问题的另一个解释就是一个二分段函数关系。

　　②循环语句结构为：

　　For  语句的一般形式：

　　引导学生分析结构为：对循环变量从x开始到xx终止（for   循环变量=初始值to终止值），执行循环体，最后跳出，执行下一个（next）.

　　Do  Loop 语句一般形式：

　　引导学生了解英文do（中文：做） ——loop（中文：中文：循环） while（当——） —— 转化为中文语句为：当B为真时对A做循环。这样学生就不会形成古板化的理解，而是文化意义上的理解，很容易弄懂所学内容。

　　4． 有趣的人文与自然法则的相似性在自然界、人类社会中同气连枝，同类形成凝聚力，异族主事心相异是一个自然现象，数学中的一些关系也有。

　　案例7  三角函数公式中“正位”与“余位”——三角函数公式繁多，正弦、余弦相关的公式比较多，如何有效地掌握这些东西，如果能从传统文化的定位与认知上去探寻记忆符号的思维出发，我们可以重新解读这些早已潜伏于每个人记忆深处的文化符号。正弦线在单位圆中处在一般意义下的“东西南北”“坐北朝南”的位置之上，居于“王者之位”—正是由于此，对这一位置上单位圆的“弦线”名之为“正弦”，而将处于“东西两个厢房”位置上居于“旁位、侧位、宾位、余位”的“弦线”名之为余弦线；那么对于三角函数公式我们可以赋予我们民族自己的文化基因式的理解或解读：

　　Sin(x±y)=sinxcosycosxsiny -——这里正弦sin的整体统领下，正位关系包容着余位，互相杂居着，而且居于正位关系的sin发出的运算关系会不折不扣的同步响应，“前正后也正，前负后相随”。

　　Cos(x±y)=cosxcosysinxsiny-——这里居于余位的cos余弦统领的时候，他的同类余位cos聚集在旗下，生成了cosxcosy,但是作为主位、王位、正位的正弦sin也在努力的积聚着力量生成了sinxsiny,然而却进行着削弱运算，反向行驶生成了的运算。

　　二倍角公式与半角公式-——由二倍角生成的半角公式历来是不太好记的，但是如果在传统的“正位余位”思想下就能更好的理解记忆不出差错；sin■=±■,cos■=±■,处于余位的余弦表示正位、主位的正弦时不甘仆从余位，在运算时进行着分裂主位，支持同类的活动，俨然是具有灵性的生命体一般。三角函数公式繁多，但是如果能够把人类思维的灵性理解嫁接到他们身上，这些公式就会变身成灵性自然的生命体。正余切与此相似。在这里我们也看到了加减乘除运算的相生相克关系，加就是减，减就是除，除就是减，乘就是加，加就是乘，乘也是除；还可以通过自然数的理性认知强化数学概念的平民化认知特点，1是起源（Apollo太阳神），2是偶数，偶数是阴性的，变化多端，3是阳性的数，是1、2构成的，代表单一和多变所构成的调合体，有三月一季，三态三光、三宝三维、三教，四有四象四位、四季四神四帝，五有五岳五更五体五行，六有六腑六合六朝六神六书六甲六亲六畜，七有七曜七色七音七情，八有八卦八方八仙八戒八风八天（东-苍天、西-颢天、南-炎天、北-玄天、西北-幽天、西南-朱天、东北-变天、东西-阳天），九有九行（月亮运行）九重（天之巅为九霄）九渊九州九曲等等，在对传统文化的认知思辨中培养学生的探索精神、复苏学生对数学概念在文化关系性的理解，增强学生的数学概念认知建构的亲和力。

　　5． 在跨学科类比中体悟数学关系的合情推理

　　案例8 不饱和溶液中加入溶质可类比生成浓度不等式：a>b>0,m>0,则■＜■

　　案例9 万有引力、电场力等对数学不等量影响理解的类比思维：■+■＜■+■…

　　案例10 分子化学结构的几何对称性对极性键、非极性键和化学反应是一种数学文化的意义建构。对称结构的合力为零，成为一种平衡状态，不容易打破结构，不容易产生化学反应，如CO2,CH4…

　　6． 在发展的文化观下构建适合学生人文情怀的口语化结论，促进学生做数学的活动

　　高中数学课堂教学中有很多结论，这些结论的呈现严谨有余，人文化缺失，在教学中给许多学生造成了认知上思维的困惑，如果能巧妙地设计课堂结尾，则会使整个教学浑然一体，富有后劲。课堂小结中结论强化的人文自然化能促使学生更好地抓住重点。如果课堂教学预设中提供适合学生人文情怀的口语化顺口溜，不仅能增强学生学习数学的情趣，而且能更好的促使学生数学知识的学习牢固化。

　　案例11 配方法-——结合培养法教学我们可以小结出：一提系数二减半，完全平方就出现，常数放到“勾”外面，保持等量是关键。

　　案例12 三角函数特殊值——把300,450,600的三角函数值全部化成分式，可以看到分母为2、3，结合整体特点小结出：一二三，三二一，三九二十七。

　　案例13  立体几何基本辅助线做法——点连线,线造面,中点可成中位线,中位线很关键,平行等量都出现,你有线我有面,线面平行是见了面;找垂直,看垂线,射影三垂要见面,你有垂它有面,面面垂直再了见。

　　案例14 解析几何 椭圆的离心率与变化情况——离心率趋近到“1”时，图形就像线段（“1”睡觉了），离心率趋近于0，图形就像圆（“0”就是圆）。

　　突出重点是有效教学课堂小结的核心，教师要抓住教材中本质的、主要的东西，对其进行加工处理，然后在教学活动中突出出来，把学生的注意力集中到这方面上去，同时引导学生举一反三。对于课本中相对次要或起辅助作用的教学内容，可根据教学的实际需要作适当调整，以适应教学的需要，提高教学效率。

　　结语  要提高数学课堂教学的有效性，教师应对教学过程的每一个环节进行精心设计，想方设法去唤起学生参与到课堂教学中来，让学生学会数学地思维。教师还应当坚持从教中学，不断探索提高数学教学的有效性和科学性。

　　课堂教学是不断发展和变化的。任何一个有效教学方式、方法必定要促进学生当前发展，同时对学生长远发展也会有影响。这一过程中还有许多显在或潜在的影响高中数学课堂教学有效性的因素，仍需我们不断地加以挖掘和重视，并在课堂教学策略上进一步优化、完善。努力追求有效的课堂教学,真正意义上“使教师因此而少教,学生因此而多学,让校园充满着欢乐”(夸美纽斯语)。

　　作者简介：何正民，男，1967年2月，硕士，高级教师，汉中名师，311人才，学科带头人，全国奥赛优秀教练员，数学教研室主任。

　　参考文献：

　　[1]齐民友，数学与文化，大连理工大学出版社，2008.6.

　　[2] 郑毓信，数学文化哲学，四川教育出版社，2005.6.

　　[3](美)克莱因，张祖贵译，西方文化中的数学，2005.5

　　[4]古今数学思想（一）（二）（三）（四）作 者：（美）M·克莱因 译者：张理京出版社： 上海科学技术出版社出版时间： 2009.10.

　　[5] 数学史通论（第二版），李文林、邹建成、胥鸣伟等译，高等教育出版社，2004.02。

　　[6]罗増儒，数学解题学引论，中学数学教学参考出版社，2008.9