构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。下面介绍几种数学中的构造法：

　　一、构造方程

　　构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的等量关系，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

　　例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？

　　解：根据条件、仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程” 求解，从而获得问题解决。

　　原方程整理得（a-4）x=15-b

　　∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0

　　分别解得a=4，b=15

　　二、构造几何图形

　　1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

　　例2：已知 ，则x 的取值范围是（）

　　A    1≤x≤5   B  x≤1    C  1＜x＜5     D  x≥5

　　分析：根据绝对值的几何意义可知： 表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A。

　　2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。

　　例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝AC

　　分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。因此，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F ， △AFC为等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD为等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。

　　三、构造函数模型，解数学实际问题

　　在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。

　　例4：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

　　（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

　　（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

　　解；（1）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：

　　解得：30≤x≤32

　　∵ x是正整数

　　∴ x＝30或31或32

　　∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。

　　（2）由题意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000

　　∵ y随x的增大而减小

　　∴当x＝30时，y有最大值，最大值为：＝45000（元）

　　答：y与x之间的函数关系式为：y＝-500x+60000，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。

　　四、构造矛盾法

　　构造矛盾法即构造反例。所谓反例就是符合命题条件而又不符合命题结论的例子。这种例子推倒出命题的矛盾，有力地否定了命题成立的可能性。

　　综上所述，构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，，而且也往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙。在平时教学中，学生在掌握基础知识之后，应加强启发。以培养学生的创新能力和创造性思维。