【正文】 

　　数与形是数学中两个最古老的、也是最基本得研究对象，他们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探索解题思路或找到问题的结论．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位．本文试图通过例题来说明数形结合的广泛应用.
　　一、 数形结合方法的实质
　　中学数学可以说是由三部分内容组成：基础知识、基本技能、基本思想方法，简称“三基”．数学思想方法是数学的重要组成部分。数形结合思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想．其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为为直观．根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，换言之“数形之间相互取长补短”。
　　二、数形结合思想在中学教学中的地位
　　我们所说的数形结合，就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来解决问题，一方面可以借助“形”的直观性来阐明数量之间的联系，另一方面也可以借助于“数”的精确性来阐明形的某些属性．数形结合思想是中学阶段数学学习的最重要也是最基本的思想方法之一，是数学的本质特征，是中学数学的主脉，贯穿于中学数学的始终，尤其是在基础教育课程改革的前提背景下，更应该要加强对基本数学思想的掌握和考查，切实的把握好数形结合思想的方法是学好数学的关键方法之一．这对于学生来说，也是很有必要的，一方面数形结合思想可以培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力，而且还可以提高学生思维的广阔性、灵活性、深刻性、直观性；另一方面数形结合思想也为培养具有创新精神和社会实践能力的人才奠定了一定的基础．所以说数形结合思想在高中数学教学中的渗透变得尤为重要．
　　三、数形结合思想在数学解题上的应用
　　（一）运用数形结合思想解决集合问题
　　对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题．这就是数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键．解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解．




　


　　（二） 利用数形结合思想解决函数问题
　　借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法，运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果.
　　例2 在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)（  ）
　　A. 在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
　　B. 在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
　　C. 在区间[-2,-1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
　　D. 在区间[-2,-1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
　　分析：函数f(x)为抽象函数，不可能得出具体的函数解析式，故可大体做出f(x)的图像加以解决.
　　解析：f(x)=f(-x)=f(2-x)，所以f(x)是以2为周期的函数.
　　画f(x)的草图如下








　　由图知，B正确.
　　（三）运用数形结合思想解决应用问题
　　例3有一螺线，在圆柱上绕了七圈，尺寸如图3所示，试求这螺线的长.







　　分析：根据题目所给条件，无法直接计算空间螺线的长度. 为此，必须把它转化为平面上的线段，设想把这个圆柱的侧面展开在平面上，这样连续七次就到一个矩形ABCD，如图4，其中BC=7×40cm,AB=100cm，对角线DB的长即为螺线的长，这样利用勾股定理就很容易求得螺线的长.
　　评析：空间不可捉摸的“数”通过平面图形的转化，变得好理解，可捉摸，避免了解题中的障碍.
　　（四）利用数形结合思想解决方程问题
　　用数形结合处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题，借助函数图象采用直观分析的方法，通过研究图象的交点问题来研究方程根的问题，一般地，含无理式，指数式，对数式已经含参数的方程解的讨论，均可利用数形结合思想．
　　例4  实数m取什么值的时，方程|x2-4x+3|有四个不同的实数根．













　　解析  令y=|x2-4x+3|，y=m，则方程|x2-4x+3|=m解的个数即为|x2-4x+3|=m与y=m图像交点的个数，如图5所示，易知只有当0＜m＜1时两图像有四个交点，故m的取值范围为0＜m＜1.
　　评析  原题本来只是方程，如用代数的方程来解决方程，那将是多么艰难的工作啊．但是如用数式巧构函数模型，则思路清楚，计算简单，逻辑性强．
　　（五）利用数形结合思想解决三角问题
　　有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般先将函数化成基本三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数图象来处理，与三角函数有关的定义域、值域以及方程的根的个数等的问题，也可借助三角函数图象来处理．















　　四、 数形结合解题时应注意的问题
　　（一）注意图形的存在性
　　图形的存在性是指所画的图形一定要存在，不能凭自己的主观想象去构造根本不存在的图像．
　　例6 若曲线y2=6x与(x-m)2+y2=4没有公共点，求m的取值范围．











图7

　　错解：有同学认为这是一个定抛物线与动圆的交点问题画出抛物定抛物线②与动圆Ⅲ如图所示，为求②与Ⅲ相切的条件，联立方程y2=6x(x-m)2+y2=4，消去得： x2+(6-2m)x+m2-4=0
　　由△＞0知m=■
　　故没有公共点的m的取值范围为m＞■或m＜-2．
　　分析：事实上抛物线②是不存在的．当抛物线②与动圆Ⅲ想切时，由方程x2+(6-2m)x+m2-4=0的△=0知m=■，此时上述的方程变为x2+■x+■=0，两实根均为负值，从另一角度分析，不妨我们把动圆画成Ⅱ，就知道当x=■时，由y2=6x得：y=±3．
　　由于点(■,±3)在圆外，由此知，定抛物线不应画为②，而应画为①．由图得m的取值范围是m＞2或m＜-2．
　　（二）注意图形的准确性
　　图形的准确性是指所画的图形一定要准确，如果把图形画错，利用图形解的题肯定也是错误的．
　　例7 直线y=2x与曲线||x|-|y||=2的交点个数为          .










　　错解：将图形||x|-|y||=2画成如图8所示，就可以得到有四个交点．
　　分析：其实曲线的图形是不含正方形的边界的，正确的图形应如图9所示的图形，可以得到有两个交点．
　　（三）注意图形的合理性
　　图形的合理性是指所构成的图形必须有利于问题的解决，不要出现越用图越使题陷入困境或解题繁琐．


























　　总之，数形结合思想虽然是一种重要的数学思想，但以图代解（证）的错误易犯，图形给我们直观的形象，帮助我们分析思考，但在解答的过程时一般不用，证明过的图形性质可以作为依据，可特殊的、不完整的图形未加证明的图形性质即使最形象直观，只能作为解选择题、填空题的参考，不能作为解答推理的依据，在具体应用时一定要注意图形的存在性、准确性、等价性、合理性和完整性．
　　参考文献：
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