【正文】  前不久，在一次学校组织的校本培训“同课异构”活动中，笔者参加了一堂“动点轨迹的探求”的公开课。在准备这节课时，觉得应改变“家常课”模式，以学生为主体，围绕学生把握好“度”来设计这节课，并进行了多次研磨。下面是这节课的教学实录，针对主要环节谈谈教学设计个人看法，与同行们研讨。
　　一、教学实录
　　1.问题引出
　　教师：生活中有很多漂亮的轨迹曲线的影子（借助图片展示），我们也很希望把它们通过数学语言的形式将它们表达出来，那么通过前一节课的学习，同学们求轨迹方程的一般步骤是什么？
　　学生1：建立适当的坐标系后，设动点的坐标P(x,y),寻求等量关系，列出动点相关的约束条件，在将其坐标化并化简，即f(x,y)=0。
　　教师：说得很好，那这节课我们就“遇到具体问题时会用哪些方法来求轨迹方程” 继续进行探讨与总结？”
　　设计意图   通过生活中四处可见的轨迹曲线的影子，让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习的兴趣。
　　 2.合作探究
　　教师抛出四个问题，让学生进行自主探究和小组讨论，请小组的代表来回答。
　　问题1 已知线段│AB│=2，动点P分别与A、B相连，所得连线的斜率之积为－2?，求点P的轨迹方程。
　　学生2：直接法，设P(x,y)，代入条件斜率之积为－2，求解可得。
　　问题2 已知点A是圆x+y=16上的动点，一个定点M（8，0），动点P是线段MA的中点，求点P的轨迹方程。
　　学生3：转移代入法，动点P的坐标转化到动点A上，由于A是圆x+y=16上的动点，满足圆的方程。
　　问题3 已知动圆M和圆C1：（x＋1）2+y2=36内切，并和圆C2:（x－1）2+y2=4外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
　　学生4：利用椭圆的定义，几何意义满足定义法。
　　问题4 已知动直线L1: ax＋y＋1=0 ,L2: x－ay－1=0，求L1和L2的交点P的轨迹方程。
　　学生5：消参法，交点P坐标满足两方程，联立方程，消去a，即可。
　　教师：还有其他方法吗？
　　学生6：还可用几何法，发现两直线垂直，过定点，点P在两定点为直径的圆上。
　　 （教师板演示范，注意解体规范性的示范）
　　设计意图   解决四个不同类型的求动点轨迹的问题，展示不同的方法，追寻学习数学的简单美，让学生获得较大的成就感，增强学生思维的广度。同时培养学生合作交流的良好氛围。
　　3.数学运用
　　教师：那么有这么多解决动点轨迹问题的方法，我们又该如何在具体问题中做出选择？
　　问题5 已知P是椭圆■+■=1(a＞b＞0)上的任一点，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q.?求点Q的轨迹方程。
　　学生7：用直接法求（发现较难入手）
　　学生8：用转移代入法（同样发现计算量较大）
　　学生9：用几何法，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点，得|OQ|=1/2|MF2|=1/2（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|=2a，∴|OQ|=1/2（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2








　　问题5变式 已知P是双曲线■-■=1(a＞0 b＞0)上的任一点，过右焦点F2作∠F1PF2的             平分线的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程。（解法略）
　　设计意图   通过老师的引导，让学生经历思维的碰撞，再到获得成功的体验。以鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质。通过将问题提升，让学生发现求轨迹的重点是研究动点的本质。再给出变式，进行类推思维的训练，感受数学的严谨美。
　　4.开放提升
　　问题6  已知△ABC中，定点A（－c,0）,定点B（c,0）,试添加适当的条件，求出顶点C的轨迹方程。
　　教师：这是一道条件开放的问题，请学生们踊跃尝试。
　　学生10：添加条件│AC│+│BC│= 4c,求得方程为……(y≠0)
　　学生11:添加条件│AC│=│BC│,求得方程为x=0(y≠0).
　　学生12:添加条件KAC·KBC =－1,求得方程为……(y≠0).
　　学生13:添加条件│AC│－│BC│=c（双曲线的一支）……
　　设计意图   通过精心设置的开放性问题，最大限度的丰富学生对数学的感受，拓宽学生的视野，激发和培养学生的数学发现，数学建构和创新能力。
　　二、感悟反思
　　结果因过程而精彩，现象因方法而生动。王钦敏教授认为，有意义的数学课堂教学必备的三点：以兴趣为起点、以理解为轴心、以思想为目标。数学课堂教学设计的模式应该以激发兴趣、促进理解、启迪思维为框架。结合数学教学理论及本节课的教学感悟，笔者认为数学课堂教学设计应注意以下几个方面：
　　1.宏观构思，注重密度
　　追求高效课堂，当寄予课堂教学观念的全面更新、教学过程的全面优化，这就要求教师在课堂设计时要以学生为主体。不仅课堂内容的设计贴近学生实际，逼近学生“最近发展区”前提下的最大化，而且在课堂活动的过程中也要教师调整自己的角色，最大限度的激发学生的主体参与，提升学生自主学习的水平。注重课堂密度，凸显学生主体。让学生自己分析，最大限度的让学生来参与数学思维活动，通过引导学生分析，教师板书，学生自我点评等多种数学活动提高学生在数学过程中的参与水平，最大限度的丰富学生对数学的感受。有效组织学生的自主探索、自主构建、互动交流，学生的主体性地位得以体现，同时课堂容量也随之更为丰满。
　　2.中观沉思，看重广度
　　 一般而言，课堂教学主线是教师在“理解数学”、“理解学生”的基础上形成的课堂结构和教学线索，其基本表现形式是反映当前数学知识本质、具有逻辑关联性、循序渐进、逐步深入的“问题串”。教师给学生一个擂台，将思维的空间让给学生，如让学生感受不同类型的问题，展示不同方法，再次巩固用多种方法求动点的轨迹方程，拓宽课堂思维的广度，也让学生不断体验成功的喜悦，体验生活与数学的密切相关及可实践性。教师用有结构的、逻辑关联、层层递进且启迪学生思维的问题引领，可提高课堂的有效性。也可以开放性问题、多个变式题等让学生感知不同背景下用哪些数学方法，不仅节约了时间成本还节约了信息成本，让学生在略有变化的信息中有更多时间去思考数学思想和方法，感知多维度，多方法解决问题，而不拘泥于一格。教师应在“理解数学，理解学生，理解教学”上下足功夫，使学生在掌握数学知识的过程中，领悟思考方法进而学会学习。
　　3.微观深思，着力厚度
　　课程改革的核心是转变学生的学习方式，变“接受式”学习为主动的探究式学习。探究式学习是数学学习的一种新的尝试，其主要目的在于培养学生的数学上的创新精神。要让学生敢于质疑、提问、反思、推广，经历数学发现、数学探究、数学创造的过程。在课堂教学设计中，如果设计一些开放性问题（可以是条件开放，还可以是结论开放、方法开放），不仅可以培养学生的创新意识，还可以培养学生的综合能力。教师以一个开放性问题吸引学生，学生跟着思绪泉涌而出，学生们对自己添加的条件既欣喜又好奇，这种自主构建的数学活动是提高学生学习积极性和兴趣的强大动力。教师也可把开放性问题放在学生们经历了“感知”“表达”“深化”后，学生们有厚实的知识及技能基础后，再来接触，这时大家的反应速度较快，添加条件的方向也显得更多样化，课堂内容的厚度、深度也会随之凸显。另外，课堂设计的功夫也不仅仅是下在课内，还要用在课外。课前可以布置一些简单的任务让学生完成，课后也可以布置一些开放性思考题或针对性练习，让他们继续思考和练习，并随时可以跟老师或学生交流、探讨，让思维在更深广的空间里延续。
　　4.综观静思，旨在高度
　　 教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长、博士生导师王尚志教授提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。数学思想是数学知识的核心，是数学素养的重要内容，是数学的精髓和灵魂。在数学课堂教学中，教师应把基本数学思想作为重要的知识来传授，精选例题，精心设计教学过程，突出数学思想和方法的教学。新课程下的课堂功能，决定了课堂教学的效度核心应指向课堂对学生学科综合素养的发展和提升的作用效能。学生在求动点轨迹的具体问题方面，可能因训练、模仿的惯性作用，表现出时段内的一定优势，但因概念形成过程的“快捷”，会导致学生在数学感受，数学探究和创新方面的发展与提高受到制约。所以课堂设计要让学生经历“感知”“表达”“建构”“深化”“完善”等一系列充分的“数学化”活动，使学生得到全面的数学素养成分的浸润。这种浸润对提高学生的数学感受性，表现力，数学探究与自主建构能力的作用是非常深远的。
　　三、结束语
　　数学课堂教学的有效性是个长盛不衰的话题，这样的同课异构活动为我们一线教师搭建了良好的平台，让我们畅所欲言，也让我们一线教师有更多的机会去思考课堂，去感悟细节并从中提升自己，反哺于课堂教学，让我们的课堂更有实效。当然怎样的课堂教学才是高效的，智者见智，仁者见仁，但不管怎么样，只要是能让学生愉快的学习数学的过程，积极的进行数学思维的数学课堂应该都是有效的教学。