【正文】 

　　阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便，然而在表现一些数的特征方面，点子图更加直观；2000多年前，希腊数学家利用点阵图形研究数。短短两句话，数学带着其精练、思辨、冷静的迷人魅力从厚重、光辉的历史中走来，在这浓浓的数学味道里，学生开始了对数的发现之旅。在实际教学中教材是这样处理的：
　　一、利用点子图感知数的顺序
　　人教版数学教材一年级上册“1～5的认识和加减法”，我是这样开展的：、
　　1．摆圆片（逐次感知1～5的顺序）。
　　课件演示，学生跟着摆。
　　学生先摆1个圆片，再摆1个是几？这个2是怎么得来的？再摆1个得到几个？
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　　依次感知3、4、5的来源。
　　[通过亲自摆一摆，让学生感知每一个数都是在前一个数的基础上添1得来的。]
　　2．整体感知。
　　a.出示点子图，你来给它们5个排排队。
　　请两名学生上台摆，其他学生在下面自己动手摆。
　　[点子图则让学生整体感知数与数之间的横向联系。]
　　b.摆好后提问：“5的前面一个数是几？”“3的前面一个数和后面一个数各是几？”
　　然后同桌间互问互答。
　　对于刚入学的小学生来说，深入地理解1～5各数的基数含义是有一定难度的。所以需要把这些抽象的数学概念变成学生看得见的“数学事实——点子图”，采用直观、形象、生动的教学方法深入浅出地教学，就能卓有成效地帮助学生建立起这些抽象的概念。同时在这一系列的活动中，创新意识、探索能力和情感得到了和谐发展。
　　二、利用点子图感知数与算式的联系
　　到了二年小朋友开始学习乘法，在“有多少个点子”这一课就是充分利用了点子图来说明同样的乘法算式可以有两种不同的方法排列物体的个数，让数学概念的学习从虚幻的想象变得看得见，摸得着。在教学中我这样设计：
　　1．导入 
　　师:同学们，老师今天请大家一起做游戏，高兴吗？[来源:^&*@中~]
　　课件出示:教材第20页情境图
　　师：仔细看图，说说你看懂了什么，和大家交流一下。
　　生1：淘气第一次摆的点子是每行2个，共3行，2+2+2=6。笑笑说用乘法算式是2×3=6或3×2=6。
　　生2：淘气第二次摆的点子图上是每列4个，共5列，4+4+4+4+4=20.淘气说用乘法算式是4×5=20或5×4=20。
　　师：你觉得淘气第一次摆的点子图还可以怎样说？相同加数是几？有几个相同的加数？
　　生：每列3个，有2列，3+3=6，相同加数是3，有2个3；乘法算式是3×2=6或2×3=6。
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　　2．探究活动
　　(1)想一想，摆一摆
　　师：刚才同学们做得很认真，能根据点子图说清每行有几个，有几行；或者是每列有几个，有几列。并能说出加数相同的连加算式和乘法算式，真是学到了不少知识。现在老师想同学们在点子图上表示出乘法算式4×7。行吗？
　　学生尝试独立解答，教师巡视，指导个别有困难的学生。
　　师：你是怎么摆的？谁愿意说给大家听听？
　　生1：我露出了7行，4列。也就是每行有4个，7行就是7个4，所以4×7.
　　生2：我露出了4行，7列。也就是每行有7个，4行就是4个7，也是4×7
　　师：同学们说得都对。这是两种不同的表示方法，可以横着看，也可以竖着看。
　　(2)圈一圈，在图上用两种方法表示3×8.
　　学生在小组内尝试解答，教师巡视。
　　在小学乘法教学中注重学生的生活经验，密切联系实际生活，强调在解决现实问题的过程中，让学生体会经历抽象数学模型并进行解释和应用的过程，从中获得对乘法意义的感悟，体会乘法知识的发生、发展过程。教材给出了最为普通的长方形点子图，通过对其规律的探究，利用点子图建立起数与算式之间的联系。数学知识源于生活，并最终服务于生活，尤其是小学数学，在生活中都能找到其原型。如本堂课就是把我们把生活中的问题变为数学研究的对象点子图，学生感到亲切，产生对数学的情感，进而产生强烈的学习动机。
　　三、利用点阵感知数与形的联系
　　到了高段开始学习利用点阵来学习数与形之间的联系，在《点阵中的规律》中是这样设计的：
　　1．激情导入，抛砖引玉
　　同学们，见过阅兵式吗？（出示阅兵式录象）。 这些解放军战士的队伍排得多么整齐啊！如果我们用一个点表示一个士兵，那么由战士组成的兵阵就变成了我们今天要学习的点阵。（板书课题：点阵中的规律）
　　（课一开始，先用雄壮的阅兵式导入新课。这样一下子就抓住了学生的注意力，接着又出人意料地把兵阵变成点阵，不仅自然地引出了新课，还让学生感到点阵并不神秘，点阵就在我们生活中。这种先声夺人的开篇，为学生下面的学习作好了情感上的准备。）
　　2．多方观察，探求规律
　　出示第一幅点阵图。
　　(1)一探
　　“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点?”
　　“怎么数得这样快？有窍门吗？”
　　这时学生会说：“我是用算式算出来的。”教师根据学生的回答，板书第一组算式
　　第1个                 1×1=1
　　第2个                 2×2=4
　　第3个                 3×3=9
　　第4个                 4×4=16
　　（一个“算”字，使学生的思维顺利的实现了由形—— 数的第一次转换。）
　　师：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢？第六个呢？第七个？八个?……第100个呢?”
　　师： “好像很有规律哦？谁发现了？”
　　（有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”）（教师板书：   ）
　　师：那第n个点阵呢？你们能画出第五个点阵吗？
　　（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数——形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）
　　师：“能不能换个角度观察？”
　　(2)二探
　　（电脑演示） “斜着看又可以得到什么新的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”（教师板书：
　　第1个：                1=1
　　第2个：              1+2+1=4
　　第3个：            1+2+3+2+1=9
　　第4个：          1+2+3+4+3+2+1=16）
　　“谁发现什么规律呢？”
　　“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。 “第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。
　　(3)三探
　　师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？（课件演示）
　　小组讨论，列出算是，全班汇报。
　　有的学生可能说：“这次都是奇数相加。”
　　教师问：“从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？”
　　通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续奇数”。
　　(4)四回味
　　师：同学们，黑板上的三组算式的得数分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样，一个数的平方可以写出三种不同的算法。我出两题考考大家。
　　出示： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝（   ） 
　　1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（   ） 
　　(5)教师小结
　　刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，今天暂不作研究。接下来我们一起来研究其它形式的点阵。自然地过渡到下一教学环节。
　　数形结合是数学解题中常用的思想方法。“点阵中的规律”这一课特别适宜于学生充分感受“数形结合”的思想魅力。教材一开始就呈现古代希腊数学家们用图形来研究数的情境。在正方形点阵的研究中，教材从三种不同的角度引导学生观察点阵，列出不同的算式，发现不同的规律，从得出像1、4、9、16……这样一组数所具备的三种不同特点。这组数既可以看作为一组连续的完全平方数，也可以看作是几个连续奇数相加，还可以看作是从1连续加到几，再加回到1。这是一个从形到数的过程。教材在学生概括规律，归纳推理出下一个点阵的点数后，又让学生画出这个点阵图，这是一个从数到形的过程。充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。点阵作为这一知识的载体，在其中起到了至关重要的作用。
　　总的来说这几堂课依靠点子图来进行教学都达到了比较好的效果。教材选取这一经典而耐人寻味的教材使小学生思维从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，在这过程中点子图完美的充当了垫脚石的这一角色。虽然这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持，这几节课又完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难，而点子图在学习过程中充当了很好的载体作用，也充分展现了点子图在数学教学中的魅力。
　　参考文献 ：
　　[1] 新课程实施过程中培训问题研究课题组编，《新课程与学生发展》，北京师范大出版社，2001年。
　　[2] 新课程实施过程中培训问题研究课题组编，《新课程理念与创新》，北京师范大出版社，2001年。
　　[3] 周玉仁主编，《小学数学教学论》，中国人民大学出版社，1999年。
　　[4] 张奠宙，《数学教育研究导引》，江苏教育出版社，1998年。