【正文】  【摘 要】 分类讨论思想是重要的数学思想方法之一，是高考命题的重点考查内容，在整个数学学习过程中具有重要的地位；它能够将数学问题化繁为简，同时可以培养和提高学生自身的数学思维能力，在高考解题中具有广泛的应用。在这种背景下，本文以贵州省为例，对近5年的高考数学试卷（理科）中蕴含的分类讨论思想进行分析和研究。
　　【关键词】 分类讨论思想；高考数学（理科）；应用

　　一、问题的提出
　　随着中学数学教学的改革，中学数学由原来的应试教育逐步转向素质教育，由“双基”逐步转向“四基”；而分类讨论思想是基本的思想方法之一，它可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，使抽象问题具体化、简单化，恰当地运用分类讨论思想不仅有利于考生加快解题速度，还可以避免丢值漏解，从而激发学生的学习兴趣，提高学习效率。因此，对分类讨论思想在高考解题中的应用进行研究是具有重要意义的。
　　近年来，有许多学者对分类讨论思想进行研究，为高中教师的教学和高中生的学习提供重要的参考。他们结合自身的教育教学实践，分别介绍了分类讨论思想的含义、诱因、基本原则、一般步骤与结论归纳形式、应用范围等，采用了问卷调查法、理论研究、实证研究等方法，就高中数学教学和解题中如何渗透分类讨论思想进行了大量的研究；但大多数都是在数学知识和数学教学层面，很少从高考解题的角度考虑。
　　二、分类讨论思想研究的理论基础
　　1.分类讨论思想的含义[6]
　　在解题时，我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法或者统一的式子继续进行计算，此时我们需要在题设条件给出的总的范围内，正确的将问题划分为几个部分，然后对每一部分逐一解答出来之后，再要把这些结果汇总到一起的解题过程称为分类讨论思想。分类讨论实际上是“化整为零，逐个击破，积零为整”的解题策略。
　　2.分类讨论思想的基本原则[1]-[2]
　　(1)同一性原则
　　同一问题，选取的标准不同就会有不同的分类，因此，每一层分类必须按照同一标准来进行，不能同时使用几个不同标准。比如，角的分类，按旋转方向不同划分，可分为正角，负角和零角；按终边所在位置不同划分，可分为象限角和轴线角；按角的大小不同划分，可分为锐角，直角，钝角和周角。
　　(2)完整性原则
　　分类应当完备，包含所讨论的问题的全部，不可遗漏。例如，把实数分为正实数和负实数，就违背了分类的完整性原则，因为实数零没有包含于其中。
　　(3)互斥性原则
　　分类时，分类的各个子集之间必须相互排斥，互不相容。即分类中各个子集的交集为空集。例如，把平面几何中的四边形为普通四边形，平行四边形，正方形，长方形的分类就违背了分类的互斥性原则，因为正方形和长方形是特殊的平行四边形。
　　（4）逐级性原则
　　在分类讨论时有时候可能在一次分类之后不能将问题顺利解决，那么就需要再继续进行分类，进行多层次的分类。在逐级分类的过程中必须分清主次，不能越级讨论，不同标准、不同层次的分类不能混淆。
　　3.分类讨论思想的一般步骤[2]
　　(1)确定分类讨论的对象和讨论对象的范围；
　　(2)对分类讨论的对象进行合理的分类（分类时标准要同一，要做到不重不漏）；
　　(3)逐类，逐级进行分类讨论；
　　(4)总结归纳，得出结论。
　　三、分类讨论思想在历年高考题中的应用
　　对近5年高考题中考查分类讨论思想的典型题型、知识点以及分值进行分析如下：
　　题型一：分类讨论在不等式证明中的应用（2014年，新课标卷2）
　　24.（本小题满分10分）设函数f(x)=|x+■|+|x-|(a>0).
　　(1)证明：f(x)≥2；
　　(2)若f(3)＜5，求a的取值范围。
　　分析：本题是一个绝对值的不等式，主要考查不等式证明和绝对值。第一小题考查不等式的性质，第二小题考查了分类讨论思想的应用，本题是由数学运算和数学概念本书引起的分类，参数a在绝对值符号中，要求a的取值范围，就需要考虑绝对值符号中的数是正数、负数还是零，再去绝对值符号。由题目知a＞0，所以3+■，去绝对值后还是它本身，只需考虑3-a的符号，即是a与3的大小关系，自然会想到用分类讨论的思想进行解答，可分a和0两种情况进行讨论解答，在将两种结果结合在一起得到a的取值范围。
　　题型二：分类讨论思想在统计与概念中的应用（2017年，全国卷3）
　　18.（本题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25]，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：



　　以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于期间的概率。
　　（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
　　（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
　　分析：本题主要通过概率、分布列、期望、最值等知识点考查学生解决实际问题的能力，同时还考查了学生阅读和理解图表的能力，难度系数不大。解决该问题的关键是要注意题设中的限制条件，根据条件进行分类讨论。
　　题型三：分类讨论思想在函数解题中的应用（2018年，全国卷3）
　　21.（本题满分12分）已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.
　　(Ⅰ)若a=0，证明：当-1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0；
　　(Ⅱ)若x=0是f(x)的极大值点，求a.
　　分析：本题是一道函数题，是高考中考查的重点内容，主要考查导数、极值点、单调性等知识点，同时还考查了分类讨论思想和函数思想在解题中的灵活运用，多次用到了分类讨论思想和函数思想，分类的层次较多、标准较细，难度系数较大，属于难题。第一问根据题设条件进行分类讨论，第二问根据解题需要和数学计算进行了三层分论讨论，每一次的分类标准都不一样，也不容易想到，对学生的基础知识和思维能力都有较高的要求，这就是本道题的重难点。
　　结论
　　研究近5年的高考命题趋势，我发现分类讨论思想在函数、不等式、极值和最值中的应该比较多在后面的大题中考得比较多，特别是在函数题和不等式题中基本上都用到了分类讨论思想，选择题和填空题中考得相对少一些；但是总的分值基本上都在增加，由此可见，分类讨论思想在高考命题中占的比率越来越大。
　　参考文献：
　　[1]彭恩.分类讨论思想在高中数学中的研究与应用[D].河南：信仰师范学院，2017：1-55.
　　[2]杨淑芳.分类讨论思想在高中数学教学中的渗透策略研究[D].河南：信仰师范学院，2016：1-65.
　　[3]马宗华.解析高中数学教学中的分类讨论思想[D].河南：2017：1-83.
　　[4]张东方.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教育，2015：83.
　　[5]刘祝云.关于分类讨论思想在高中数学解题中的应用思考[J].经贸实践，2016：80.
　　[6]刘彩萍.高考数学中数学思想方法的研究及启示[D].上海：上海师范大学，2010：1-108.