【正文】  【摘 要】 初中数学应用题一直是教学中的难点和学生测试中的失分点。根据目前许多教学的手段，发现应用题教学的效果依然不尽如人意。学生渐渐在初中数学应用题中感觉到挫败感，产生解题障碍。基于对上述情况的分析和研究，发现可视化的解题策略对学生解决应用题以及利用所学的数学知识解决生活中的实际问题有较高的促进和帮助作用。
　　【关键词】 应用题；可视化；解题策略；思维导图

　　一、引言
　　以新版北师大数学教材为例，除几何内容和数据统计内容外，代数知识点在章节末尾必然涉及解决实际问题的知识，数学老师将这些内容俗称“应用题”。横向对比多年中考试题，应用题的分值与题量都在试卷中占了较大的比重，对学生的成绩有着较大的影响。应用题的设置目的在于提高学生对数学的应用能力，使学生能够将数学运用到现实生活中，解决实际问题，因此，应用题在教学中都相当受重视。
　　二、初中数学应用题的种类
　　1. 方程（方程组）型
　　①行程（追赶）问题 ②工程问题 ③顺逆问题 ④增长率问题 ⑤数字（面积）问题
　　2. 函数型
　　①水费、电费、话费等费用问题 ②利润获得问题 ③成本投入问题
　　3. 不等式型 
　　①数形结合问题 ②不等式、方程、函数、面积等综合应用
　　三、 初中生应用题解题现状分析
　　笔者通过对任教年级（八年级）的全体622名学生进行调查与分析，发现学生在应用题解题过程中存在以下障碍：
　　（1）阅读理解障碍，具体表现为：审题不仔细，考虑不全面；审题时思维混乱，思路不清晰，对题目中等量关系（不等关系）不理解；审题方法选取不当；难以在文字语言、图形语言、数学、符号语言间进行准确的“互译”等。
　　（2）转译障碍，即模型构建障碍，表现为解决函数应用题时学生无法准确建立题中符合题目要求的变量关系，或所建立的关系式有误。此外，还有不少学生在题目以文字或图像、表格的形式描述或呈现量间关系时，仍旧无法建立起函数关系式等。
　　（3）加工操作障碍，表现为以下几种情形：①对初步建立的等量关系进行等价变形或化简运算时错误；②在求解方程（组）时出现错误；③在运用“配方”法或“系数”法求解二次函数最值时有误；④对待数据时没有去伪存真； 
　　（4）迁移即学习迁移，迁移障碍表现为某类型应用问题己为学生掌握，但当此类型问题情境或条件发生局部变化时，学生无法识别问题类型，难及时有效唤醒已有解题经验来正确求解问题。
　　（5）情感态度障碍，表现为学生对应用题兴趣不浓，反馈时间较长或者成功感低，学习动机不强，在求解应题，特别是某些未常见的类型的问题时存在心理障碍，不愿去尝试解决问题，畏难情绪较为突出。
　　（6）认知结构障碍，认知结构障碍是指知识基础较差，解题所需的各项技能较为缺乏，还包括未能将知识、技能合理整合，形成组织良好的系统。调查中，30%的学生表示自己数学基础差，15%的被试学生表示其运算能力很影响自己对应用题的求解。
　　四、例说初中数学应用题传统解决方案
　　例1、一次环保知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（80分或80分以上），小明至少答对了几道题？ 
　　（分析：设小明答对了x道题，则答错或不答有               道题，共得               分，共扣了               分，而小明评为优秀，则小明的得分               80分，可列不等式为               。）
　　解析：为了帮助学生有效解题、学会分析，故在题目下方设计简易的分析填空题。原以为这对学生是有帮助的，可惜在实际授课的过程中发现事与愿违。
　　1. 由于这个分析填空题是基于题目既定的等量关系制定出来的，有一定的局限性，如果学生的基础数学知识较差，数学转码能力薄弱的话，是很难正确完成填空的，从而直接影响了学生解决应用题的信心。
　　2. 由于这类分析方法的局限性，对于帮助学生在应用题中更好地得分不具有普遍性。
　　3. 当然也有大部分优生完成了填空并由此学会了列方程解决问题。具体过程下：设答对了x题，则答错或不答有（30-x）题
　　4*x-（30-x）≥ 80
　　解得：x ≥ 22
　　答：小明至少答对22道题。
　　例2、“五一”黄金周期间， 某学校计划组织 385名师生租车旅游， 现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车， 42 座客车的租金每辆为 320 元， 60 座客车的租金每辆为 460 元。（ 2016 年青岛市中考题）
　　（ 1） 若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？
　　（ 2） 若学校同时租用两种客车 8 辆（ 可以坐不满） ， 而且要比单独利用一种车辆节省租金。 请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。
　　解析：这是一道考察一元一次不等式的中考题，面对此类问题的教学，数学老师的传统办法就是寻找题目中的“不等关系”，从而准确列出方程，解方程，检验，回答问题。
　　1、通过题目的分析，找到的等量关系如下：
　　（1）问题中包含的不等关系有：①租42座客车数量*42≥师生总人数385；②租60座客车数量*60≥师生总人数385。③租42座客车数量*每辆42座客车的租金=单独租42座客车的租车费用；④租60座客车数量*每辆60座客车的租金=单独租60座客车的租车费用。⑤合并租车的总费用≤单独租用一种车的费用（2）问题中包含的等量关系有：①租42座客车数量+租60座客车数量=8；②租42座客车数量*每辆42座客车的租金+租60座客车数量*每辆60座客车的租金=合并租车的总费用； 
　　2、通过以上等量关系利用数学符号进行编码和转换，得到如下过程：
　　（1）设单独租42座客车的数量为x
　　42*x ≥ 385   得x ≥ 9.2 最大正整数解为10
　　故单独租42座客车的费用为10*320=3200（元）
　　同理，单独租60座客车的费用为3220（元）
　　答：学校单独租用42座客车的费用3200元，单独租用60座客车的费用为3220元。
　　（2）设租42座客车的数量为x辆，则租用60座客车的数量为（8-x）辆
　　42x+ 60（ 8- x） ≥ 385
　　320x+ 460（ 8- x） ≤ 3200
　　解得：∵x 取整数， ∴ x= 4 或 5。
　　当 x=4 时， 租金为320×4+ 460×（ 8- 4） =3120 元；
　　当 x=5 时， 租金为320×5+ 460×（ 8- 5） =2980 元。
　　答：当租用 42 座客车 5 辆， 60 座客车 3 辆时租金最少。
　　3、笔者在教授该题目时使用以上的传统方法，发现效果不是很理想，学生把很多的精力花在理解所有的等量关系上面，以至于对于自己的解答不够自信和不够时间。找准等量关系后列对式子才可以有效得分。于是笔者思考：是否存在一个环节可以从直观角度入手来列出正确的式子呢？
　　五、初中数学应用题可视化解题策略
　　就以上例题进行可视化解题的示范
　　例1、题目见上文
　　1. 可视化解题步骤：①寻找题目中的关键字 ②以任意关键字作为一个起点进行思维导图绘画 ③根据题设的未知数，把思维导图中的关键字转码成为数学符号 ④列出方程（关系式） ⑤计算结果、作答
　　2. 例1中的关键字：30道题、答对得4分、答错或不答扣1分、80分或80分以上。
　　3. 选择合适的题设，设未知数。
　　4. 绘制思维导图并转码关键字：









　　列出不等式：4x-（30-x）≥ 80
　　例2、题目见上文
　　1.题目关键字：385名师生、42座客车、60座客车、320元、460元
　　2.绘制思维导图并根据题设转码关键字：















　　3.根据思维导图的可视化网络，直观列出不等式解决问题。
　　六、课后效果对比
　　由于笔者任教的两个班级，A班整体水平较好，采用传统教学方法；B班略逊色于A班，主要有较多女生的数学基础薄弱和思维方法狭窄，于是B班采用可视化教学。在完成八年级第二章不等式应用题的学习后，通过测试，B班整体水平逼近A班，尤其是在应用题的得分率上面，B班得分率98%，A班得分率98.77%。
　　七、应用题可视化解题策略成功的心理学理论支撑
　　数学可视化可理解为将抽象的概念原理、符号表征、结构关系、思想方法等用图形、图象、动画等“可看得见的、清楚呈现”的表征形式表示出来，使人们对数学有一个形象、直观、整体的认识和理解。所以思维导图在应对传统等量关系上，有着直观的优势，同时思维导图可以任意选取其中一个关键词作为起点，大大地丰富了学生解题可能性，体现“一题多解、举一反三”的教学愿望。
　　根据认知负荷理论，人的长时记忆是无限内存的，而人的大脑基于构造特点，有利于长时记忆的信息点即是图表，当大脑毫不费力地运用可视化方式进行记忆和运算，则留给人在数学解题上面的思考负担将会大大减轻，所以学生在通过思维导图进行问题解决方案的制定后会拥有较多的精力和专注来进行题目的运算和检查，得分率自然大大提高。
　　建构主义理论也认为学习是一个动态的适应过程，尽管在此之前的学生已经历过传统应用题教学，但在接触可视化解题策略后，他们会很聪明地选择“最优解”。学生通过自身积极主动的活动来进行知识建构、线索整理，学习的成功感会得到提高，学习兴趣的提升也是水到渠成。
　　八、总结与不足
　　目前可视化解题策略在笔者日常的教学活动中经常使用，但研究层面基于一些自身理论的局限性，所以仅仅在应用题的解决上面。虽然尝试过利用思维导图方式进行知识点的归纳总结，但是在几何与函数的领域依然缺乏实践。希望在今后能够在教学中深挖可视化教学的策略。
　　参考文献：
　　[1] 唐慧荣. 中学数学可视化教学研究.硕士学位论文.浙江：浙江师范大学，2010
　　[2] 董庆云. 初中生数学应用题解题障碍研究.硕士学位论文.山东：鲁东大学，2014
　　[3] 肖  宵. 初中生函数应用题解题障碍研究.硕士学位论文.重庆：西南大学，2014
　　[4] 刘文校. 浅谈初中数学建模的教学及应用[A].保山师专学报.保山，2006
　　[5] 骆兰兰. 初中数学应用题的审题技巧[C].读与写杂志.2015
　　[6] 吴康银. 四步阅读法在初中数学入门应用题中的实践研究.中国教育技术装备，2010