【正文】  【摘 要】 初中阶段“基本图形”是初中几何教学的重要内容，初中几何部分又是初中数学的重要组成部分。为让学生在众多复杂的几何图形中找到突破口，攻克难点，笔者遵循初中数学新课标有关初中基本图形教学指导精神，以“一线三等角”教学设计为例，通过对基本图形的“认识、梳理、理解、运用、掌握”（五环节）的策略设计与教学实践，帮助学生掌握几何原理，丰富图形内涵，提高思维水平，促进学业提升。 
　　【关键词】 初中数学；基本图形；几何；教学策略

　　一、引言
　　初中阶段“基本图形”，是指在几何问题的解决中，由复杂图形分解为若干个简单的、重要的图形分别求解，这些简单的图形具有明确的条件、明显的结构特征，因而具有相应的性质。基本图形教学是以对基本图形展开研学为导向，让学生能提出问题、思考分析、解决问题，促进学生思维拓展，增强分析和问题解决能力的一种教学策略。
　　新课标指向
　　义务教育《数学课程标准》（2022年版）明确指出：“到了初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基本概念的图形的性质、关系、变化规律的理解，要培养学生初步的抽象能力，更加理性的几何直观和空间想象力……”
　　（二）存在的误区
　　初中阶段基本图形教学存在以下误区：1.轻视图形特征的挖掘过程，偏重结论的运用；2.基本图形的数量过多，导致解题模型套路化；3.课堂教学不分析图形条件，直接指引找图形；4.基本图形配套训练只追求数量，忽视匹配度。
　　（三）“一线三等角”
　　初中数学“一线三等角”图形既是常见的全等图形，也是重要的相似图形，更是近几年中考命题的热点。中考主要考察以等腰三角形、矩形、正方形或二次函数为背景的一线三等角图形。
　　本文以“一线三等角”专题教学设计为例，引导学生了解问题的来源，识别基本图形中的线段、角之间的关系，通过对具体情境中问题的分析，深入探究“一线三等角”的特性和转化的过程，培养学生综合运用几何知识解决相关问题的能力，逐步提高学生的学科素养。
　　二、基本图形教学策略设计
　　（一）展现教学题根，认识基本图形
　　中考的考题通常来源于教材中的例题、习题的改编，教材中的原题，就是这类题目的题根。因此，教师要善于挖掘教材中的题根，拓展教学，让学生认识图形之根，探索方法之根，形成思想之根。“一线三等角”模型就来源于浙教版数学八年级上册《2.8直角三角形的全等判定》的课后一道习题。引例：“质疑——挑战”。
　　例 已知，如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC.
　　求证：△ABP≌△PDC；（2）求证：BD=AB+CD.





图1
             
　　解析 （1）由同角的余角相等可知∠A=∠CPD，根据角角边定理可判定△ABP≌△PDC；（2）由第（1）小题结论可得AB=PD，BP=CD，则BD=AB+CD成立。
　　【设计意图】 “一线三直角”是一线三等角最特殊也是最常见的图形。学生在原有认知经验的基础上，认识“一线三直角”的基本图形，通过熟悉的“同角的余角相等”的性质，找出∠A=∠CPD或∠APB=∠C，分析出证明全等所需的条件，得出两个三角形全等的结论，从而证得线段和的关系。学生通过该题的大胆设想与证明，认识“一线三直角”的基本图形，为后面的图形变换奠定根基，为构建几何模型打好基础。 
　　（二）把握图形之根，梳理基本图形
　　1.定角、定线、证全等
　　“一线三直角”图中常常有较明显的顶点共线的三个直角，探究直角三角形中两个锐角之间的关系，比较容易证得两个直角三角形全等，从而找到线段及其和差的关系，帮助学生形成良好的数学思维习惯和应用数学的意识，引导学生在熟悉图形的基础上，逐步探究几何图形的本质，达成解决问题的思路。它的基本流程是：
　　引例识图→分析图形→产生疑惑→大胆设想→验证猜想
　　问题1 （1）如图2，点P在线段BD上，PA=PC，且∠ABP=∠APC=∠PDC，请求出AB，CD，BD三条线段的数量关系，并证明；
　　（2）如图3，条件与第（1）小题相同，则（1）中的结论还成立吗？





　　    图2               图3
　　解析 （1）由三角形外角的性质可证∠A=∠CPD，根据角角边定理证明△ABP≌△PDC，可得AB=PD，BP=CD，于是证得BD=AB+CD.
　　（2）结论依然成立，方法同第（1）小题。
　　【设计意图】 问题是创新思维的起点，只有设计好数学的问题，才能激发学生思维，有效思考。学生首先通过引例认识了“一线三直角”的模型，当相等的直角变成锐角或钝角时，学生经历了从特殊到一般的过程，角度变化引发了几何图形形状的变化，不变的是几何图形的本质和知识的内涵。揭示运动中不变的规律，既能促进学生对基本图形和基本特征的积累，又能引发学生对问题的深刻理解，更能培养学生分析和解决问题的能力，实现对新知识的深度理解与内化。
　　2.定角、动线、证全等
　　让学生从变化的问题情境中识别图形的基本特征，分析图形的特点，寻找“变”中“不变”的内在规律，找出“数”与“形”之间的内在关联，再逐步探究几何图形的本质，使学生逐步形成解决问题的初步经验、探究解决问题的能力和思考方法。  
　　问题2  如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
　　（1）当直线l不与底边AB相交时，猜想EF、AE、BF的数量关系并证明；
　　（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与点A、B重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）







　　      图4         图5






图6

　　解析 （1）根据∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB，再证△EAC≌△FCB，得到CE＝BF，AE＝CF，可得EF＝CE+CF＝AE+BF；
　　（2）由于直线EF的位置不同线段AE与BF的大小也不同，所以这里作图需分类讨论。①当AD＞BD时，如图5，EF=AE-BF；②当AD＜BD时，如图6，EF＝BF-AE．
　　【设计意图】 思维是嬗变的，教师可借助兵法施教，比如“以退求进，整体思考，数形互动，动静转化，待定系数法，正难则反”，运用得法可达事半功倍之效果。如在“一线”旋转变化过程中，图形中的两个直角由同侧变成异侧，其基本图形一对直角三角形全等的结论依然成立，学生通过独立思考，交流探究，得到两种情况。之后通过证明三角形全等找到相等的对应线段，再通过线段的和差关系找到EF、AE、BF这三条线段的关系。让学生明白本题两直角在直线的异侧，图形的形状上不同，线段的和差关系也略有不同，但是证明方法却是相同的；也使学生在发现规律中，能利用具有统一规律的题目整合起来，形成“学一题、会一片、知一类”的解题共性和策略，揭示出“变”与“不变”的辩证关系，有效地培养学生思维的深刻性。
　　（三）研究形式之根，理解基本图形
　　在不改变知识本质特征的前提下，变换其非本质特征，让学生在相异的情境中，注重对本质特征的理解，将已有的知识迁移到动态情境中，以加深理解数学图形的价值，研究本质问题，促进学生数学思维的拓展。
　　1.定角、定线、构全等
　　当新知识与学生原有认知结构脱节时，就必然形成学习的难点。当新图形、原图形、原认知图形不衔接时，教师应想办法引导学生通过添辅助线构造成认知已有的模型，变式教学，以过渡和衔接，引导学生对图形进行深入的识别和辨析，帮助他们对数学模型有更深刻的认识与掌握，逐步培养学生的思维能力和创新能力。
　　变式1 如图6，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若S△AEG=7，则S△AEI=______． 






　　   图6               图7

　　解析 如图7，作EM、GN分别垂直于直线HI于点M、N．由△ABH≌△EAM，△ACH≌△GAN可得EM=AH=GN，所以EM=GN，进一步证得△EMI≌△GNI，则EI=GI，即I是EG的中点．得出S△AEI=■S△AEG=3.5．教学中也有学生提出用同底等高证出面积相等.
　　【设计意图】 2022版《数学课程标准》指出：“要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会借助图形分析问题，形成解决问题的思路，发展模型观念。”一线三直角图形具极高的识别度，图形的变形延伸能力较强，适时添加辅助线，对学生的思维水平有一定的要求，本例中仅含有两个直角，但通过延长线作垂直可构建三直角，建构成基本模型。教师应引导学生合理利用图形特点来作辅助线，将问题条件进行串联，进行模型添补，使学生在不同的情境中寻求与已有知识的关联点，实现在原有知识经验的基础上建构基本模型，达到知识方法的有效迁移，培养学生自主建构知识体系的能力.
　　2.找角、找线、构全等
　　在新的复杂的情境中，我们要引导学生在理解基本图形特征的基础上去分析和探索，再通过小组讨论和深入思考，找出隐藏在数学问题背后的模型，共同提高。它的基本流程是：
　　分析情境→尝试解决→小组讨论→找出模型→共同提高
　　变式2 （1）如图8，已知直线y＝■x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
　　（2）如图9，矩形ABCO，O为坐标原点，点B坐标为（8，6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x-5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．






 
　　     图8           图9






图10

　　解析 （1）如图10，由解析式y＝■x+3可求得A（0，3）、B（-4，0），利用模型结论可得CD=BO=4，BD=AO=3，从而可求得C点坐标（-7，4），利用待定系数法可求得直线AC的解析式y=-■x+3；
　　（2）分两种情况考虑：如图11所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，设D点坐标为（x，2x-5），利用三角形全等得到11-2x+x=8，易得D点坐标（3，1）；如图12所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14-m，m+8），列出方程28-2m-5=m+8，解得m=5，即可确定出D点坐标为（9，13）；如图13所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理求出D的坐标为（■，■）．







　　   图11           图12








图13

　　【设计意图】 动态问题往往作为试卷的压轴题，对学生来说，此类问题的难度很大。本题的难点在第（2）小题，学生需自己根据题意画出等腰直角△APD，当∠ADP是直角时，图中只有一个直角，但因题中要求点D的横坐标，补上过点D且平行于x轴的直线，点D的横坐标显现出来，一线三直角的模型也逐渐露出水面，教师再根据题干的具体要求，让学生通过小组讨论建立数学模型，进而求得本题的答案，从而领略解决问题的方法，以达到“以题会类”的教学境界。
　　3.定角、定线、证相似
　　全等三角形是相似三角形的一个特殊分支，即当两个相似三角形的相似比为1时，他们就是全等三角形，所以他们之间是特殊和一般的关系。学生在全等三角形“一线三等角”基本图形理解的基础上，在相似三角形中构建“一线三等角”的模型就不会感到陌生。
　　变式3 如图14，△ABC中∠B=∠C=30°，∠DEF=30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线ED与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．当点Q在线段CA上时，（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由。







图14

　　解析 （1）推导角度关系可得∠CEQ=∠BPE，结合∠B=∠C即可得出△BPE∽△CEQ；（2）由（1）相似可得■=■，结合BE=CE，可得BE2=BP·CQ.
　　【设计意图】 2022年版《数学课程标准》指出：“根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，利用图形分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。”教师变换不同的问题情境，就是让学生在不同的情境中识别出图形的本质属性，明晰思路。题中背景变为等腰三角形，学生可以通过“一线三等角”模型找到解决问题的突破口，把数学模型运用到新的问题情境中，引导学生一步步解决数学问题，在第（2）小题中，通过两个相似三角形的对应边成比例，得到比例式，然后通过等量代换证得BE？=BP·CQ.教学中通过提炼出解决这类问题的方法，自动建构，有效迁移，以达到“以题会类”的教学效果。
　　4.定角、定线、构相似
　　运用“一线三等角”模型解析问题时，构造三等角是要点，而考题却以“等角”而变式，偷偷藏匿，为解决这个“构造”问题，我先让学生分小组讨论，再根据已有的经验进行识别和构造。
　　问题3 如图15，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
　　（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．
　　（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图16所示）．当P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．






　    　图15        图16 

　　解析 （1）①点A，B，C的坐标分别为（3，0），（3，3），（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入解析式求得b=2c=3；
　　（2）由“一线三直角”可证△MCP∽△PBA，得■=■，即（）■=■，则n=-■m2+m=-■（m-■）2+■（0＜m＜3），∴当m=■时，n的值最大，最大值是■．
　　【设计意图】 学生较容易求得点A、B、C的坐标以及b、c的值。通过识别和分析图形，学生由“数”联想到“形”，寻找隐藏在抛物线背后以正方形为背景的“一线三等角”图形，再根据相似三角形对应边成比例，列出n关于m的二次函数，最后根据二次函数的性质求得n的最大值，创新精神得到培养。
　　（四）推动思维之根，运用基本图形
　　让学生挑战中考数学试题，是“图形——应用”的模式，让学生分析图形中的问题，经历由模仿到创新应用的过程，帮助学生对知识、技能、方法产生一种新的理解，找到该问题的共性；通过建立几何模型解决这类问题，获取数学知识，掌握数学解题的技巧和方法，达到实际运用之效果。它的基本流程是：
　　提出问题→引向思维→建立模型→大胆猜想→应用提高
　　问题4 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
　　（1）如图17，若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
　　（2）如图18，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
　　①求证：EK=2EH；
　　②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：■=4sin2α-1．






　     图17         图18

　　解析 （1）由题意可知，AE=BE=2，BF=1，根据勾股定理得S_正=EF2=12+22=5.
　　（2）①由一线三等角模型△AKE∽△BEF，可得，■=■=2，因此，EK=2EF=2EH.②证明：由角角边定理证明△KHI≌△FGJ，则S△KHI=S△FGJ=S1，然后证明△KHI∽△KAE，所以■=（■）2=（KA/（1/2KE））2=4（KA/KE）2，因为sinα=KA/KE，所以sin2α=（KA/KE）2，因此（S1+S2）/S1=4sin2α，S2/S1=4sin2α-1.
　　【设计意图】 本题是2022年杭州市中考题，对于第（1）小题，学生比较容易完成，对于第（2）小题图中有较明显的“一线三等角的”基本图形，这时，教师要引导学生借助该基本模型，证明两个直角三角形相似，然后等量代换就可以求得结论。而对于第②问通过观察可知，四边形AEHI是△AEK的一部分，那么问题就转化为证明△KHI≌△FGJ了。所以教师要引导学生根据相似三角形的性质，△AEK与△KHI的面积比等于相似比的平方，转化为比例式，通过比例式变形再结合三角函数证得结论，使学生思维合乎情理，合乎逻辑，变得精彩纷呈。
　　（五）归纳整理思路，掌握基本图形
　　笔者通过“一线三等角”为例的基本图形的教学实践创新，归纳出掌握“基本图形”教学的模型流程图如下：
















　　三、基本图形教学实践收效
　　几年来，笔者通过基本图形教学的深度研学，课堂教学的精心设计，培养了学生对几何图形的探究能力，激发了学生学习热情和信息，掌握了解题方法和技巧，提高了学习效率和质量。
　　1.梳理基本图形，理清模型本质
　　通过教学实践，学生经过“认识→梳理→理解→运用→掌握”过程，对数学基本图形较为清晰，对“一线三等角”的解题过程能严谨把握。
　　2.建构几何模型，积累经验方法
　　学生通过观察、分析、猜想、推理发现规律、认识规律、运用规律，能把同一规律的题目整合起来，达到“学一题、会一片、知一类”的效果。在这个过程中学生深深感悟并牢牢掌握建构几何模型的基本流程：
　　实际情境→提出问题→积极思维→几何模型→解决问题
　　3.强化应用模型，提升学科素养
　　通过教学实践，教师改变了教学行为，丰富了图形内涵；学生养成了质疑向难、善于研学、不断反思、勇于探索的科学精神，并较好地掌握和运用了“一题多变”、“多题归一”的数学思维模型，数学核心素养得到发展。
　　思考
　　“一线三等角”的解题过程是一个典型的基本图形的运用过程，如何挖掘一类问题内隐的本质是我们数学教学的根本任务。教学中，通过设置由浅入深的问题串，让学生在学习中有效迁移，循序渐进，连续建构，跳出“题海”，以最经济的时间获得最大的收效，是我们数学教学的努力方向。
　　参考文献：
　　[1]教育部：《义务教育数学课程标准》（2022年版）北京师范大学出版社，2022年第1版.
　　[2]章建跃著，《数学教育随想录.上卷》，浙江教育出版社，2017年第1版.
　　[3]朱建良著，《深度学习：初中数学教学案例研究》，江苏大学出版社，2021年第1版.