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  数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。分类讨论思想，贯穿于整个初中数学的全部内容中。需要运用分类讨论思想来解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，思路清晰。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。 

　　教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。 

　　一、渗透分类思想，养成分类的意识 

　　每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如有理数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。 

　　学习完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法。 一种是按定义（即整数、分数）分类；另一种是按正数、负数和“0”来分类。在分类过程中不能忘记关键数字“0”，有理数按整数、分数分类时，0是整数；有理数按正数、0和负数分类时，0既不是正数，也不是负数，而是正数和负数的分界点，这样认识为下一步分类讨论奠定基础。

　　认识数a可表示任意数后，对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。        

　　通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。 

　　二、学习分类方法，增强思维的缜密性

　　在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。 

　　分类的方法常有以下几种： 

　　1、根据数学的概念进行分类 

　　有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。 

　　如：若a>b,则ac( )bc。分三类考虑：①c>0时,ac>bc　②c=0时,ac=bc　③c<0时,ac<bc。

　　1、已知关于x的方程x2-(k+1)x+■k2+1=0.(1)k取什么值时,方程有两个实数根;(2)如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=x2,求k的值.解：(1)由Δ=[-(k+1)]2-4（■k2+1)=2k-3。若Δ≥0，即2k-3≥0，k≥■。∴当k≥时，方程有两个实数根。（2）由x1=x2 ①当x1≥0时，得x1=x2 ∴方程有两个相等实数。∴Δ=0即2k-3=0。  ∴k=■，又当k=■时，有x1=x2=■>0，∴k=■符合条件。②当x1<0时，得x2=－x1 ∴x1+xn=0 由根与系数的关系得k+1=0  ∴k=－1 由(1)知与k≥■矛盾。∴k=－1(舍去)，综上可得k=■。

　　2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

　　例：解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a 

　　分析：通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质，可分为a－2＞0,a－2＝0,和a－2＜0三种情况分别解不等式。这是不等式性质的典型应用。

　　3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类 

　　如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。 

　　例：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为4，则其腰上的高是多少？            

　　分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高，可得腰上的高在等腰三角形的内和外两种情况。

　　4、从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类 

　　在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决。

　　三、引导分类讨论，提高合理解题的能力  

　　初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

　　一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。 

　　例：已知函数.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值. 

　　分析：这里从函数分类的角度讨论，分m－1=0 和m－1 ≠0两种情况来研究解决问题。 

　　解：当m＝l时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。 

　　当m－1≠0时，函数就是一个二次函数，当△＝（m－2）2+4(m－1)=0,得m=0. 抛物线y=－x2－2x－1,的顶点（－1，0）在x轴上。

　　由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

　　利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。