【正文】

  一、设计思想

　　本节课选自人教A版《数学》必修5第三章第三节。线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。本课以问题为载体，以学生为主体，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象过程。应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

　　二、教学目标

　　（一）知识与技能：

　　使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

　　（二）过程与方法：

　　经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；并利用建、画、移、求、答的基本步骤、数形结合思想求解线性规划问题。

　　（三）情感、态度与价值观：

　　培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

　　三、教学重点、教学难点

　　教学重点：线性规划的图解法；

　　教学难点：寻求线性规划问题的最优解。

　　四、教学过程设计

　　（一）复习回顾

　　1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？

　　2、怎样画二元一次不等式（组）x+2y≤8x≤4y≤3所表示的平面区域？应注意哪些事项？

　　设计意图:回顾怎样画一元二次不等式（组）表示的平面区域，此例为即将引入的问题做准备，既达到复习的要求，又可以为下面的内容节省一些时间。

　　（二）问题导入

　　引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

　　问题1：该厂生产什么？怎么生产？

　　设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程。使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组并用平面区域表示。

　　设甲、乙两种产品每日分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

  x+2y≤84x≤164y≤12x∈NY∈N  　　(1)

　　问题2：可能的日生产安排，是什么意思？

　　设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解（x,y）的实际意义，提出“线性约束条件”、“可行解”、“可行域”的概念。

 

 

 

 

 

 

 

　　画出不等式组所表示的平面区域：

　　如图，图中坐标为整数的点即整点就代表所有可能的日生产安排。

　　对于边界附近的点，如（4,3）、（4,4）等是否在可行域中，引导学生配合不等式x+2y≤8来判断，有助于学生在解决问题时慎密思考。

　　问题3：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

　　设计意图：通过添加最优化问题转入对新知的探究，使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值。同时给学生引入“线性目标函数”、“线性规划问题”的概念。

　　（三）问题的深入

　　利润函数模型的建立：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量影响生产利润，学生第一次接触。让学生代入所有的可能的日生产安排即可行域中的各整点，亲自动手，亲身体验，最后会得出结果，引出最优化问题，提出“最优解”概念。

　　问题4：如何看待利润函数z=2x+3y？

　　设计意图：学生只会利用定义域求一元函数的最值问题，引导他们把z看作常数，利润函数就是y关于x的一次函数，通过类比，利用可行域帮助解决，在学生活跃的思维中，寻求数形结合思想方法应用的契机。

　　把z=2x+3y变形为y=-■x+■，这是斜率为■，在y轴上的截距为■的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，z=2x+3y中的（x,y）来自于可行域，所以直线与可行域有公共点。此时结合y=-■x+■和可行域追问学生以下问题：

　　当直线y=-■x+■经过可行域中的那个点时，与y轴的交点最高？

　　当直线y=-■x+■经过可行域中的那个点时，■最大？

　　当直线z=2x+3y经过可行域中的那个点时，z最大？

　　通过追问，学生会发现：z=4,y=2时，z=2x+3y最大，最大值为14万元。即提出的问题得到解决。

　　问题5：怎样求解线性规划问题？

　　设计意图：通过对上面具体例子的回忆，让学生梳理解决问题的思路，归纳最优化问题的求解思路。

　　学生回忆过程中，老师用多媒体给学生展示以下示范解答：

　　解：设生产甲产品x件，乙产品y件，工厂获得的利润为z，根据题意得z=2x+3y和不等式组：

  x+2y≤84x≤164y≤12x∈NY∈N

 

 

 

 

 

 

 

　　作出平面区域如图所示：

　　作直线2x+3y=0,平移，经过点M时，z的值最大。

　　由x=4,x+2y=8得点M的坐标为（4,2）.

　　因此，当x=4,y=2时，z最大，最大值为2×4+3×2=14（万元）。

　　（四）线性规划的有关概念

　　设计意图：结合例题，阐述概念，加深理解。

　　线性约束条件：在上述问题中，不等式组（1）是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

　　线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

　　线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

　　可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

　　（五）问题变式

　　问题6：若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，采用哪种生产安排利润最大？

　　设计意图：通过目标函数的变式，让学生熟练最优解的求法。

　　问题7：若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品亏损2万元，采用哪种生产安排利润最大？

　　设计意图：通过目标函数的变式，特别是把y的系数变为负数的情况，让学生进一步熟练最优解的求法。

　　让学生先动手试一试，然后提示：z=3x-2y在y轴上的截距-■最小时z值最大。

　　五、评价设计

　　课时小结：

　　1、谈谈本节课你对“线性规划”的理解？线性和规划的数学意义分别是什么？

　　教师根据学生的回答，强调两方面：

　　线性：约束条件是线性的，目标函数是线性的。

　　规划：就是求最有解，求可行域中使目标函数取得最值的可行解。

　　2、求线性规划问题的一般步骤是什么？

　　教师要根据学生的回答进行补充：求线性规划问题的一般步骤归纳为5个字：建、画、移、求、答。

　　建：建立线性规划模型（约束条件和目标函数）；

　　画：画出约束条件表示的可行域；

　　移：在线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线。

　　求：解方程组求最优解；

　　答：写出答案。

　　随堂练习

　　（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件y≤xx+y≤1y≥-1

　　（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x+3y≤15y≤x+1x-5y≥3

　　课后作业：课本第105页习题3.3A组第3题.

　　设计意图：练习和作业都是纯数学问题，主要是要求学生掌握求线性规划问题的一般步骤，运用数形结合的思想，熟练求出线性目标函数的最值。