【正文】 

  基本不等式求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.北师大版高中数学必修五，第三章中重点讲述了基本不等式的应用，在教学过程中很多同学反应这部分知识比较难掌握，由于基本不等式的运用涉及到很多技巧，而新课改对学生解题技巧的要求逐渐降低，因此学生很不适应这种题型。

　　应用基本不等式常说的一句话是“一正二定三相等”。“一正”是基本不等式的运用的前提，“三相等”是取等号成立条件，然而关键就在于“二定”理解和利用代数变换来“定”。下面我将对基本不等式应用中“积定和最小，和定积最大”的基本题型进行归纳，希望能为你的学习带来帮助。

　　题型1 乘积式求最值问题

　　例1：已知0＜x＜■，求函数y=x(1-3x)的最大值.

　　解：∵0＜x＜■ ∴1-3x＞0 ∴3x+(1-3x)=1

  y=x(1-3x)=■≤■[■]2=■×■=■

　　当且仅当3x=1-3x→x=■∈(0,■)，∴ymax=|x=■=■

　　评注：此题考查乘积的最小值，需要将积转化为求和式的定值，再利用基本不等求解。也可以用二次函数求其最值。

　　变式1：已知a＞0，b＞0,且满足a2+■=1，求a■的最大值.

　　解：a■=■=■≤■(a2+■+■)=■

　　题型2 和式求最值问题

　　例2：已知x＞3，求函数y=x+■的最小值.

　　解：y=x+■=■(2x-3)+■+■≤2■+■=■+■

　　评注:此题考查求和的最小值，通过构建积为定值的形式，利用基本不等式求最小值。

　　变式1：已知x＞-1，求函数y=■的最小值.

　　解：y=■=■=■

    =(x+1)+■-1≥2■-1=2■-1

　　变式2：已知x＞0,y＞0，且满足x+2y=1，求■+■的最小值.

　　解：■+■=(■+■)(x+2y)=3+■+■≥3+2■=3+2■

　　变式3：已知a＞0,b＞0，且满足ab=a+b+3，求a+b的最小值.

　　解：ab=a+b+3≤(■)2→(a+b)2-4(a+b)-12≥0，解得a+b≥6或a+b≤-2，所以a+b|min=6。

　　另一解法：因为ab=a+b+3，所以b=■，由于a＞0b=■＞0得a＞1

  a+b=a+■=a+1+■=a+1+■=a-1+■+2≥2■+2=6

　　题型3 应用基本不等式求解参数取值问题

　　例3：已知a≥0,b≥0且a+b=1，求■+■的最大值.

　　解：(■+■)2=a+b+1+2■=2+2■=2+2■≤2+2■=4，所以■+■≤2，即■+■最大值为2.

　　评注：此题主要考查学生对基本不等式的灵活运用，充分理解“积定和最小，和定积最大”的意思，本题通过对原式平方后恰当的构建出应用“和定积最大”.

　　变式1：已知0＜x＜■，求y=■+■的最小值.

　　解：因为2x+(1-2x)=1，

　　所以y=■+■=(■+■)[2x+(1-2x)]=13+[■+■]≥13+12■

　　变式2：已知x,y∈R且2x+4y=1，x2+y2≥t,则t的最大值.

　　解：1=(2x+4y)2=4x2+16y2+2×4x·2y≤4x2+16y2+(16x2+4y2)=20(x2+y2)

　　所以x2+y2，则t|max=■

　　题型4 由a+b≥2■推广至a+b+c≥3■的问题

　　例4：已知x＞0，求已知y=x+■的最小值.

　　解：y=x+■=■+■+■≥3■=3，所以y|min=3

　　变式1：已知a＞b＞0，求a+■的最小值.

　　解：a+■=b+(a+b)+■≥3■=3