恒成立问题是高考的一个热点，随着“全称命题和特称命题”的引入，存在性问题开始渐渐进入高中数学题库。这两类问题在处理方法上类似，处理这类问题，涉及函数的性质、图像、渗透着换元化归、数形结合、函数与方程等思想方法，但主要利用等价转化的思想，化为最值问题去处理。

　　其一般类型有：

　　（1）恒成立问题

　　①?坌x∈D均有?蕊(x)＞A恒成立，则?蕊(x)min＞A.

　　②?坌x∈D均有?蕊(x)＜A恒成立，则?蕊(x)max＜A.

　　③?坌x1∈D，?坌x2∈E均有?蕊(x1)＞g(x2)恒成立，则?蕊(x)min＞g(x)max

　　（2）存在性问题

　　①?埚x0∈D使得?蕊(x0)＞A成立，则?蕊(x)max＞A

　　②?埚x0∈D使得?蕊(x0)＜A成立，则?蕊(x)min＜A

　　③?埚x1∈D，?埚x2∈E均有?蕊(x1)＞g(x2)成立，则?蕊(x)max＞g(x)min

　　这两类问题，学生只要记住其特点，一般照套不成问题。但学生往往对这一特性不够理解，以至于会张冠李戴而错代，做错。

　　怎样能让学生感到简单易于理解呢？关键是要让学生理解所学内容的本质，其中转化和打比方起着非常重要的作用。我们把它转化为我们生活中的问题，就较易理解了。

　　如：恒成立问题和存在性问题中的D﹑x﹑?蕊(x)﹑A可以这样理解：记D是某班所有学生构成的集合，x是这班的学生，?蕊(x)是学生的身高，A是一个参数，可看作老师的身高。于是

　　恒成立问题中

　　①?坌x∈D均有?蕊(x)＞A恒成立，则?蕊(x)min＞A.

　　即“若这个班任何一个学生的身高都高于A，则这个班身高最矮的学生一定高于A。”

　　②?坌x∈D均有?蕊(x)＜A恒成立，则?蕊(x)max＜A.

　　即“若这个班任何一个学生的身高都低于A，则这个班身高最高的学生一定高于A。”

　　存在性问题中

　　①?埚x0∈D使得?蕊(x0)＞A成立，则?蕊(x)max＞A

　　即“这个班有学生的身高高于A，则这个班个子最高的那位学生身高一定高于A”

　　②?埚x0∈D使得?蕊(x0)＜A成立，则?蕊(x)min＜A

　　即“这个班有学生的身高低于，则这个班个子最矮的那位学生身高一定低于”

　　（1）﹑（2）中的③类问题也可这样理解

　　记甲班全体同学构成集合D，乙班全体同学构成集合E，x1是甲班的同学，x2是乙班的同学，?蕊(x1)﹑g(x2)分别表示甲﹑乙两班同学的身高，那么

　　恒成立问题中

　　③?坌x1∈D，?坌x2∈E均有?蕊(x1)＞g(x2)恒成立，则?蕊(x)min＞g(x)max

　　即“若甲班任何一个同学的身高都高于乙班同学的身高，则甲班中个子最矮的都比乙班个子最高的还要高。”

　　存在性问题中

　　③?埚x1∈D，?埚x2∈E均有?蕊(x1)＞g(x2)成立，则?蕊(x)max＞g(x)min

　　即“若甲班有同学的身高高于乙班某同学的身高，则甲班中个子最高的同学其身高一定高于乙班中个子最矮的那个同学的身高。”

　　这样打比方后，学生较易理解上面式子的由来，也能很好的利用上面的关系式来解题。

　　例1：已知定义在R上函数?蕊(x)为奇函数，且在[0,+∞]上是增函数，对于任意x∈R求实数m范围，使?蕊(cos2θ-3)+?蕊(4m-2mcosθ)＞0恒成立。

　　解：∵?蕊(x)在R上为奇函数，且在[0,+∞]上是增函数，

　　∴?蕊(x)在[0,+∞]上为增函数

　　又∵?蕊(cos2θ-3)+?蕊(4m-2mcosθ)＞0

　　∴?蕊(cos2θ-3)＞-?蕊(4m-2mcosθ)=?蕊(2mcosθ-4m)

　　∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m  即2m(2-cosθ)

　　∵2-cosθ∈[1,3]，

　　∴2m＞■=■

　　∴m＞■=2+cosθ-■

  =4-[2-cosθ+■]

　　令2-cosθ=t,t∈[1,3]

　　∴m＞4-{t+■}

　　即4-m＜t+■在t∈[1,3]上恒成立

　　即求g(t)=t+■在t∈[1,3]上的最小值

　　∵g(t)=t+■≥2■等号成立条件t=■,即g=■∈[1,3]成立

　　∴g(t)min=2■

　　∴4-m＜2■ 即m＞4-2■

　　∴m的取值范围为(4-2■,+∝)

　　例2：设0＜a≤■,若满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，亦满足不等式|x-a2|＜■，求正实数b的取值范围。

　　简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化:

　　设集合A={x|x-a|＜b}=(a-b,a+b)，

     B={x|x-a2|＜■}=(a2-■,,a2+■)，

　　由题设知A?哿B，则：a-b≥a2-■a+b≤a2+■

　　于是得不等式组：b≤-a2+a+■b≤-a2-a+■ (0＜a＜■)

　　又-a2+a-■=-(a-■)2+■的最小值为■；

　　a2-a+■=(a-■)2+■的最小值为■

　　所以b的取值范围是[-∞,■]

　　例3 已知二次函数?蕊(x)=ax2+x，如果x∈[0,1]时|?蕊(x)≤1|，求实数a的取值范围。

　　解：x∈[0,1]时，|?蕊(x)≤1|?圳-1≤?蕊(x)≤1，即-1≤ax2+x≤1

　　①当x=0时，a∈R

　　②当x∈(0,1]时，问题转化为ax≥-x-1ax≤-x+1恒成立，由a≥-■-■恒成立，即求-■-■的最大值。设u(x)=-■-■=-(■+■)2+■。因x∈(0,1]，■∈[1,+∞)为减函数，所以当x=1时，u(x)max=-2，可得a≥-2。

　　由a≤■-■恒成立，即求■-■的最小值。设v(x)=■-■=(■-■)2-■。因x∈(0,1]，■∈[1,+∞) v(x)为增函数，所以当x=1时，v(x)min=0，可得a≤0。

　　由①②知-2≤a≤0。

　　关键点拨：在闭区间［0，1］上使|?蕊(x)≤1|分离出a，然后讨论■关于的二次函数在［1,+∞］上的单调性。

　　教学中，教师如能选用一些引起学生熟悉、富有情趣的事例作比喻，可化抽象为具体，转微观为宏观，变深奥为简明。

　　课堂上每每遇到比较抽象的理论性较强的问题时，我们总是按其详实的教案反复讲解，使出浑身解数，力图让学生理解、掌握，但收效甚微。

　　面对基础较差的学生以及现行教材知识体系的特点，作为教师怎样才能使抽象化的问题具体化，使理论性较强的问题简单化，合适的教学方法是关键；这也是我们每个教师必须认真思考和解决的问题。在教学过程中，遇有教学难点时，总是通过“打比方”的方法来处理教材，力图在学生求知的最近发展区，寻找新知与旧知的最佳结合点，讲授过程中化难为易、深入浅出，使得教学起到事半功倍的效果。

　　巧打比方可以使复杂、抽象的问题变得简单而具体，学生接受时感受性较强、易于掌握。实践证明，只要我们教师课前认真钻研教材，合理安排教学内容，精心安排教学步骤，巧妙设计与教学内容相匹配的教学案例，打比方恰当，学生在课堂上就能较容易理解和掌握该部分内容。

　　教学的过程实际上是老师与学生进行交流的一个过程，当人与人之间就某一问题交流发生困难时，打比方是我们常用的方法，她能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，这便是我们教师的教学艺术之一。因此，为提高课堂教学效果，我们的教师应努力成为这方面的高手。