【正文】 

  基本情况：三角函数是高中数学重点内容，是高考必考的内容，从近几年新课标地区的高考情况来看选择题、填空题、解答题等类型都会出现三角函数的相关知识，难度不大，属“较易”到“中等”。对三角变换的考查要求有所降低，得对三角函数的图象与性质的考查却有所加强。三角题一般占总分15％的左右。

　　从考查内容上看，主要涉及以下四类问题：

　　（1）应用同角变换、诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值及等式证明问题；

　　（2）与三角函数图象、性质有关的问题；

　　（3）三角形中的三角函数问题（解三角形及其实际应用）；

　　（4）与平面向量、导数等综合的问题。

　　高考试题蕴涵着丰富的信息，特别是近年新课标的高考试题融入了教育改革的理念，对教学具有辐射、导向的作用，如果教师能认真分析、整合考题资源，这将是一笔丰厚的财富，一定能得到许多的启示。

　　1.公式要能“正用、逆用、变用、巧用”

　　三角函数内容最大的特点是公式多，变换的形式和方法多，如何确定正确的变形方法和方向是解题的关键。

　　案例1、（2010年高考数学广东卷）

　　已知函数?蕊(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则?蕊(x)是（    ）

　　A.最小正周期为π的奇函数

  B.最小正周期为π的偶函数

　　C.最小正周期为■的奇函数

  D.最小正周期为■的偶函数

　　同类问题（2010年高考数学福建卷）

　　计算sin430cos130-cos430sin130的结果等于（   ）

　　A. ■    B.■

  C. ■   D.■    

　　一道选择题启示着我们的教学方向，学习三角函数公式不要只做表面文章，而应深入研究公式、定理的来龙去脉、变化形式，通过训练克服逆向运用这一难点。在教学上让学生熟悉一些常见的恒等变形代换，如“1”的代换：1-cos2θ+sin2θ=tanθcotθ=tan450；分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；弦切互换；引入辅助角进行“合一变换”等，十分有利于培养学生的计算能力及逆向思维能力。

　　案例2 （2010年高考数学上海卷）

　　若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△ABC（ ）

　　A.一定是锐角三角形

  B.一定是直角三角形

　　C.一定是钝角三角形

  D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

　　分析：此题是一个较容易的问题，但却同时考查了学生运用正弦定理与余弦定理求解三角形的知识，实属好题。

　　同类问题：已知cos(α+■)=■，且α为锐角，求sinα的值。

　　课堂教学时不应直接告诉告诉学生α=(α+■)-■，要让学生自己独立思考求解。他们一般会把α=(α+■)展开，再考虑用平方关系联立方程组求解，常见角的变换方法有α=(α+β)-β;■=(α-■)+(β-■)，等等，

　　案例3（2009高考全国卷Ⅰ）

　　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.

　　此题实际上比较简单，可以观察出命题者出题时考虑比较周密，也使我们明确了公式的妙用，但从试卷的答题情况看，许多考生不知如何入手，对已知条件a2-c2=2b，左右侧次数不同，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对于sinAcosB=3cosAsinC，过多希望于两角和差的正弦公式，甚至有的学生用现在已经不再考查的积化和差公式（在《数学必修4》中有练习），导致找不到突破口而失分。

　　启示：平时的教学，教师包办得太多，强抛公式给学生，结果是给得越多忘得越快。新课程理念明确要求把课堂还给学生，引导学生自主学习。

　　开拓学生思维。在平时的教学中，注意数学思维训练，克服单向性，定向性。通过训练让学生亲自体验如何利用角之间的和、差、倍、半等关系进行变角，如何将条件角化为目标角，将目标角用条件角表示；如何进行降次与升次、弦切互换、常值代换等，而且把这些训练渗透到平时的教学之中，并注意引导学生及时进行总结，提高对问题的分析及对知识的灵活运用能力。

　　2.注重三角函数定义的教学，防止走入公式死胡同

　　三角函数的坐标定义是研究三角函数的基础，如三角函数的符号、同角公式的推导、三角函数的图象都是与定义或其几何意义紧密联系的。

　　案例4（2008年高考数学江苏卷）

　　如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为■,■

　　（1）求tan(α+β)的值；

　　（2）求α+2β的值。 

 

　　本题主要考查考生对三角函数定义的理解与运用，以及由三角

　　函数值求角的基本运算，不算难。但是从当年试卷分析可以看到，许多考生却是费尽心机，用了许多篇幅书写都没有解决第（1）问，第（1）问又直接影响到第（2）的解答，其结果是：原以为简单的问题，考生得分却不高。问题出在哪？主要原因就是学生解答（1）时不会联想到三角函数定义，由单位圆上两点的坐标不知道cosα=■，cosβ=■,总想由各种公式计算，结果围绕着一堆公式转了半天，仍然没有收获，走入了死胡同。

　　同类问题：（2010高考数学四川理数）

　　（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

　　②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ.

　　（Ⅱ）已知△ABC的面积S=■，■·■且，cosB=■,求cosC.

　　启示：实施新课程标准后，人教A版的《数学4》关于三角函数的教学，引入了一个重要载体—单位圆，学习任意角的三角函数的定义，各种公式的推导、三角函数图象与性质的研究等都运用单位圆进行，以上两题的背景就是教材第108页B组第2题及原公式推导，这也说明了高考是源于课本又高于课本的。

　　新旧教材三角函数定义的对比

　　旧教材：终边定义法——在角α终边上任取异于原点的点P(x,y)，它与原点的距离为r，则sinα=■ cosα=■  tanα=■

  新教材：单位圆定义法——设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么

　　（1）y叫α做的正弦，记作sinα，即sinα=y；

　　（2）x叫α做的余弦，记作cosα，即cosα=x；

　　（3）■叫α做的正切，记作tanα，即tan=■

　　共同处：都是在直角坐标系中处理。

　　“单位圆定义法”：

　　（1）帮助学生直观而具体地认识三角函数概念；

　　（2）能帮助学生更好的理解和画出三角函数图象。

　　（3）能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、函数符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式，诱导公式、周期性、单调性及最值；

　　3.注意三角函数与其他知识的综合

　　在知识的交汇点命题是新课标考纲明确提出的主要考查学生如何将新的问题化归为自己熟悉的问题，渗透了数学的化归思想。所以，在知识交汇处命题备受命题者青睐，这种题目使得试题更加活泼，内容更加新颖，解法更加灵活，要引起重视。

　　案例5（2009年高考数学湖南卷）

　　已知向量■=(sinθ,cosθ-2sinθ),■=(1,2)

　　（Ⅰ）若■□■，求tanθ的值；

　　（Ⅱ）若|■|=|■|，0＜θ＜π,求θ的值。

　　这道题的最大亮点是跨章节命题，用平面向量坐标形式呈现，从向量共线、向量模长相等的知识入手，考查三角函数中最常见的求值问题体现了心平面向量为载体，三角函数为核心的有机结合。

　　同类问题：（2011年高考数学陕西卷）叙述并证明余弦定理

　　启示：在新课程中，教材分别在《数学4》第二章第5节例2、《数学5》第二章第1节两次提供余弦定理的证明，除向量法，坐标法外，至少还有利用勾股定理的平面几何解法。但结果很不理想，只有0.45的得分率，平均5.43分。新课标高考中有意识地考课本“余弦定理”提供了“减负松绑”的回归导向，冲击了“教学时弊”，证明了凡是偏离大纲教材，盲目加重负担的地方和学校，都出现“复习了一年却没有教会课本定理”的尴尬。如四川省2010年考余弦的差角公式，据统计50万考生做对的不到500人，这些情况都应该引起我们这一届准高三的老师们注意，在第一轮复习中必须狠抓教材，争取逐一过关，特别是不要想当然地认为自己教了两三届高三就成为老油条了，成精了，好高骛远，盲目整些高难度压轴题，影响学生基础分的获取。在教学中要注重三维目标的训练要到位，经历定理的形成过程（知其然也知其所以然，获得体验），要有“复习了一年连课本定理都还不会，那还叫什么复习”的情感态度体验。

　　（2010年高考数学安徽卷）

　　设函数?蕊(x)=sinx-cosx+x1，0＜x＜2π,求函数?蕊(x)的单调区间与极值。

　　启示：高考中三角函数试题考查的形式变化较多，有与平面向量相结合，有与导数不等式相结合，也有与复数相结合。在教学上要重视三角函数的工具性作用。在平常的教学中教师要舍得花时间让一些有能力的学生进行知识应用的拓展，有意识地注重知识板块间的交叉运用，达到板块间的融会贯通。

　　4.应用问题融入三角形再现亮点

　　学以致用——新课标突出了数学应用意识，突出了数学建模思想。学习目标明确提出：学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

　　案例六（2010年高考福建卷）

　　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

　　（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

　　（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

　　同类问题（2009年高考辽宁卷）

　　如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离。（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

　　分析：解决此类问题的关键在于通过审题领会其中的数学本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以哪个三角形为模型，联想相关的定理或边角关系到，列出已知的等量或不等量关系，然后寻求与变量之间的关系，也即是抽象出数学问题（数学建模）

　　启示：解三角函数应用题要充分运用数形结合的思想，图形语言和符号语言等方式来思考解决问题。最难的是如何把实际问题向数学问题转化（数学建模）。在新课程的教材中，这部分安排了许多的应用问题其目的就是要求教师要采取循序渐进的原则上，从简单的问题开始训练，用三年的时间逐步提高学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力。

　　高考提出了“三个有利于”：有利于推进基础教育课程改革；有利于中学教学；有利于高校选拔人才。《课程标准》是高考命题的基本原则，是制定《考试大纲》及部分省市适用的《考试说明》的基本依据。

　　结束语：坚持“最基础的知识才是最有用的知识”的原则，狠抓基础知识、基本思想方法的教学；重视过程教学注意知识的发生发展过程，充分挖掘课本中每一个概念的内涵及与它相关联的知识之间的联系，形成知识网络；从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，努力发挥数学科本身的特点，拓宽题材，多样化、多角度、多视角地培养学生的数学素养；让学生体验数学背景，不断培养学生用数学知识解决现实问题的能力，体现数学的科学价值和人文价值。